Poisson structures on moduli spaces and group actions

Abstract

(English) In this thesis, we study Poisson Structures on Moduli Spaces and Group actions. In particular, we focus on b^m-symplectic structures that can be seen both as symplectic structures with singularities and a particular type of Poisson structures. We also study Poisson structures on the character varieties associated with Fuchsian differential equations in relation with Riemann-Hilbert correspondence and how they can be transformed in case of higher order singularities. For b^m-symplectic manifolds, we consider different classes of group actions starting with b^m-Hamiltonian actions, a natural generalization of Hamiltonian moment maps for the singular symplectic setting. Then, we further generalize this notion as singular quasi-Hamiltonian group actions. The last generalization is motivated by those group actions that preserve a b^m-symplectic structure on the manifold but do not admit a conventional moment map. We use both moment maps (b^m-Hamiltonian and singular quasi-Hamiltonian) to prove a corresponding generalization of the Marsden-Weinstein reduction theorem, showing that in the singular setting, the reduction procedure eliminates the singularity. We prove a singular slice theorem as a first step for the reduction proof. We show that the singular Marsden-Weinstein reduction admits reduction "by stages" and commutes with the desingularization procedure.In the second part of this thesis, we turn to Poisson structures on moduli spaces of flat connections and monodromy data related by the Riemann-Hilbert correspondence. First, we consider several cases when the Riemann-Hilbert correspondence can be solved explicitly on an elliptic curve. Then we turn to the case of Painlevé transcendents on Riemann sphere. In particular, the Okamoto Hamiltonian for the second Painlevé equation carries a natural b-symplectic structure. For the rest of the equations, the structure is more complicated. We start with considering the Poisson structures on the moduli space of flat connections and character varieties corresponding to Fuchsian equations, where all the singularities are simple poles (in particular, Painlevé VI). We consider Poisson structures for which the Riemann-Hilbert correspondence is a Poisson morphism. We also study Poisson structures related to Painlevé V equation (3 poles: one of order 2 and two simple poles).

(Català) En aquesta tesi s'estudien les estructures de Poisson en espais de moduli i en accions de grups. En particular, ens centrem en les estructures b^m-simplèctiques, que es poden veure com a estructures simplèctiques amb singularitats o també com un tipus particular d'estructures de Poisson. També estudiem les estructures de Poisson en varietats de caràcters associades a les equacions diferencials fuchsianes i el comportament d'aquestes estructures de Poisson sota la confluència de singularitats. En el cas de les varietats b^m-simplèctiques, considerem diverses classes d'accions de grups, començant amb b^m-accions hamiltonianes, una generalització natural de les funcions de moment hamiltonianes en context simplèctic singular. Després generalitzem encara més aquesta noció a accions de grup quasi hamiltonianes singulars. Aquesta darrera generalització està motivada per aquelles accions de grup que conserven una estructura b^m-simplèctica a la varietat però no admeten una funció de moment convencional. Utilitzem ambdues funcions de moment (b^m-Hamiltoniana i quasi-Hamiltoniana singular) per demostrar una generalització corresponent del teorema de reducció de Marsden-Weinstein, demostrant que en l'entorn singular, el procediment de reducció elimina la singularitat. Demostrem un teorema de slice singular com a primer pas per a la demostració de la reducció. Mostrem que la reducció singular de Marsden-Weinstein admet la reducció "per etapes" i commuta amb el procediment de desingularització.A la segona part d'aquesta tesi tractem les estructures de Poisson sobre els espais moduli de connexions planes i les dades de monodromia relacionades per la correspondència de Riemann-Hilbert. En primer lloc, considerem diversos casos en què la correspondència de Riemann-Hilbert es pot resoldre explícitament en una corba el·líptica. A continuació, passem al cas dels transcendents de Painlevé sobre l'esfera de Riemann. En particular, el Hamiltonià d'Okamoto per a la segona equació de Painlevé té una estructura b-simplectica natural. Per a la resta d'equacions, l'estructura és més complicada. Comencem considerant les estructures de Poisson a l'espai de moduli de connexions planes i varietats de caràcters corresponents a equacions fuchsianes, on totes les singularitats són pols simples (en particular, Painlevé VI). Considerem estructures de Poisson per a les quals la correspondència de Riemann-Hilbert és un morfisme de Poisson. També estudiem estructures de Poisson relacionades amb l'equació Painlevé V (3 pols: un d'ordre 2 i dues pols simples).