A novel computational homogenization theory for multilayered plates: the multiscale 2D+ approach

Abstract

(English) This doctoral thesis presents a novel multiscale theory for the analysis of multilayered plate structures, termed the "Multiscale 2D+ approach" or, simply, "2D+". Based on the formalism of computational homogenization theory, this approach is specifically tailored to account for the mechanical behaviour of multilayered materials, which contain a heterogeneous distribution of thin layers across the thickness and often exhibit substantial non-linear material behavior. After identifying the macroscopic scale as the (2D) reference plane of the plate, the strategy models the through-the-thickness heterogeneity by means of a (1D) meso-scale filament, orthogonal to such plane and spanning the plate depth. At the macro-scale level, classical First Order Shear Deformation Theory (FSDT) kinematics is adopted. At the fine-scale level, the Representative Volume Element (RVE) kinematics is initially derived through the linearization of the macro-scale displacement field along the thickness, in accordance with the first-order computational homogenization theory. The RVE is then endowed with a fluctuating displacement field, which aims to capture the well-known (higher-order) zig-zag displacements observed across the thickness of composite laminates. The Hill-Mandel principle is used to establish the mechanical energy balance across both scales, resulting in a one-dimensional Boundary Value Problem (BVP) to be solved at the meso-scale level in terms of the fluctuating displacement field. Furthermore, the variational RVE-problem allows for the enforcement of an additional condition: the fulfillment of the linear momentum balance (equilibrium) equations at every point across the thickness. This yields a physically meaningful computational setting, in which both scales are represented through simple (degenerated) kinematic descriptions, accounting for the essential mechanical behavior observed at each level yet remaining computationally inexpensive. The Multiscale 2D+ approach can therefore be seen as a modern plate theory, where the through-the-thickness mechanical behavior of the plate is obtained upon the solution of the equilibrium problem of a meso-scale filament. Particularly well-suited for bending-dominated scenarios, it provides accurate stress distributions at the ply-level in non-linear simulations, close to those of full-3D models, at a computational cost similar to that of 2D models. The thesis comprises the development of both the formulation and the corresponding numerical multiscale model within the context of the finite element method. Through a series of representative simulations−including assessments of accuracy, computational performance, and non-linear material modeling− the merits of the 2D+ approach in successfully accounting for the mechanical behavior of multilayered plates are clearly evidenced in this contribution.

(Català) Aquesta tesi doctoral presenta una nova teoria multiescala per a l'anàlisi d'estructures de plaques multicapa (laminades), anomenada "Model Multiescala 2D+" o, simplement, "2D+". Basat en el formalisme de la teoria de l'homogeneïtzació computacional, aquesta metodologia està específicament dissenyada per tenir en compte el comportament mecànic dels materials laminats, que contenen una distribució heterogènia de capes fines al llarg del seu gruix i sovint exhibeixen un comportament material no lineal substancial. Després d'identificar l'escala macroscòpica com el pla de referència (2D) de la placa, l'estratègia modela l'heterogeneïtat al llarg del gruix mitjançant un filament a escala mesoscòpica (1D), ortogonal a aquest pla i que abasta la profunditat de la placa. A nivell macroscòpic, s'adopten les cinemàtiques de la Teoria de Deformació per Tall de Primer Ordre (FSDT). A nivell de microescala, la cinemàtica de l'Element de Volum Representatiu (RVE) es deriva inicialment mitjançant la linealització del camp de desplaçaments a escala macroscòpica al llarg de l’espessor, d'acord amb la teoria d'homogeneïtzació computacional de primer ordre. A continuació, el RVE es dota d'un camp de desplaçament fluctuant, que té com a objectiu capturar els desplaçaments en zig-zag (d'ordre superior) observats al llarg del gruix dels laminats compostos. El principi de Hill-Mandel s'utilitza per establir l'equilibri d'energia mecànica a través d’ambdues escales, resultant en un problema de contorn unidimensional (BVP) que cal resoldre a nivell mesoscòpic en termes del camp de desplaçament fluctuant. A més, el problema variacional del RVE permet imposar una condició addicional: el compliment de les equacions de l'equilibri de moment lineal en cada punt al llarg del gruix. Això produeix un entorn computacional amb significat físic, on ambdues escales es representen mitjançant descripcions cinemàtiques simples (degenerades), tenint en compte el comportament mecànic essencial observat a cada nivell, però mantenint-se econòmic en termes computacionals. El mètode Multiescala 2D+ es pot veure, per tant, com una teoria moderna de plaques, on el comportament mecànic al llarg de l’espessor de la placa s'obté mitjançant la solució del problema d'equilibri d'un filament a escala mesoscòpica. Particularment adequat per a escenaris dominats per la flexió, proporciona distribucions de tensió precises a nivell de capa en simulacions no lineals, properes a les dels models 3D, a un cost computacional similar al dels models 2D. La tesi comprèn el desenvolupament tant de la formulació com del model numèric multiescala corresponent en el context del mètode d'elements finits. A través d'una sèrie de simulacions representatives, incloent-hi avaluacions d'exactitud, rendiment computacional i modelatge de materials no lineals, es demostren clarament els mèrits de la tecnologia 2D+ per a explicar amb èxit el comportament mecànic de les plaques multicapa.

(Español) Esta tesis doctoral presenta una novedosa teoría multiescala para el análisis de estructuras tipo placa laminadas, denominada modelo Multiescala 2D+ o, simplemente, 2D+. Basado en el formalismo de la teoría de homogenización computacional, el modelo está concebido específicamente para representar el comportamiento mecánico de materiales laminados, que contienen una distribución heterogénea de delgadas láminas a través del espesor y generalmente exhiben un comportamiento material substancialmente no-lineal. Identificando la escala macroscópica como el plano de referencia (2D) de la placa, la estrategia modela la heterogeneidad del espesor por medio de un filamento (1D) meso-escala, ortogonal a dicho plano y abarcando todo el espesor de la placa. En el nivel macro-escala, se adopta la cinemática clásica tipo FSDT. A nivel de escala fina, la cinemática del RVE se deriva inicialmente a través de la linealización del campo de desplazamientos macro-escala a lo largo del espesor, conforme a la teoría de homogenización computacional de primer orden. El RVE es entonces dotado de un campo de desplazamientos fluctuante, que tiene por objeto capturar los conocidos desplazamientos (de más alto orden) tipo zig-zag observados a través del espesor de laminados compuestos. Se utiliza el principio de Hill-Mandel para establecer el balance de energía mecánica a través de ambas escalas, lo que resulta en un problema de contorno (BVP) a resolver en el nivel meso-escala en términos del campo de desplazamientos fluctuantes. Asimismo, el problema variacional del RVE permite imponer una condición adicional: el cumplimiento de las ecuaciones de balance de momento lineal (equilibrio) en cada punto a lo largo del espesor. De ello resulta un entorno computacional que modela la física con gran fidelidad, en el cual ambas escalas son representadas a través de descripciones cinemáticas simples (degeneradas) que reproducen el comportamiento mecánico esencial observado en cada nivel con un bajo coste computacional. El modelo Multiescala 2D+ puede, por tanto, ser visto como una teoría de placas moderna, donde el comportamiento mecánico a través del espesor de la placa se obtiene al resolver el problema de equilibrio de un filamento meso-escala. Particularmente apropiado para escenarios dominados por flexión, provee distribuciones de tensión precisas al nivel de lámina en simulaciones no-lineales, cercanas a aquellas de modelos 3D, a un costo computacional propio de modelos 2D. La tesis comprende tanto el desarrollo de la formulación como del correspondiente modelo numérico multiescala en el contexto del método de los elementos finitos. A través de una serie de simulaciones representativas−incluyendo evaluaciones de exactitud, rendimiento computacional, y modelado de no-linealidad material− los méritos del método 2D+ para reproducir con éxito el comportamiento mecánico de placas multicapa son claramente puestos en evidencia en esta contribución.