An unconditionally stable mimetic finite volume method on collocated grids

Abstract

(English) An unconditionally stable mimetic Finite Volume Method for unstructured collocated grids is presented in this thesis. The theoretical requirements for the mimetic framework rely on differential geometry and algebraic topology concepts, from where the mimetic operators were constructed. Furthermore, the Navier-Stokes equations are written in covector-valued form, respecting the geometry of the equations and, finally, discretized. The mimetic FVM obtained in collocated grids collapses to the formulation of Trias et. al., thus giving a strong mathematical foundation to the symmetry-preserving theory. Besides, the interpolation from cells to faces was stated to be the volume-weighted one by conservation of momentum arguments (or alternatively, by the Reconstruction map on the staggered grid). In this regard, it is also shown how the interpolation induces the staggered volume metric to the faces. In addition, a new explanation for the use of a midpoint interpolation in the scalar quantity of the convective term is proposed. It relies on the observation that the geometry is induced by the Reduction map, thus implying a topological interpolation at the cochain level. This topological interpolation, if assumed local, is the midpoint. The necessary and sufficient conditions for the method to be unconditionally stable, which relies on kinetic energy conservation, are also studied. Preserving the symmetries of the differential operators is sufficient for staggered meshes; however, in collocated arrangements, an extra term associated with the pressure gradient is responsible for introducing (or damping) artificial kinetic energy. A theorem formally proves that the volume-weighted interpolator is required to converge the results even for high-distorted collocated meshes, being the unique interpolator capable of doing that under some geometrical restrictions of the mesh. Finally, numerical tests are carried out to assess the accuracy of a linear, a midpoint, and a volume-weighted interpolator under low-distorted and high-distorted grids. It is shown that in the case of low-distorted grids, the three give similar results. When the mesh becomes distorted, the linear interpolator starts introducing energy to the system, blowing up the simulations. The midpoint interpolation is proved to be unstable under high-distorted meshes, while the volume-weighted interpolator is proved to be unconditionally stable.

(Català) En aquesta tesi es presenta un Mètode de Volums Finits Mimètic incondicionalment estable per a malles no estructurades col·locades. Els requisits teòrics per al marc mimètic es basen en conceptes de geometria diferencial i topologia algebraica, d'on es van construir els operadors mimètics. A més, les equacions de Navier-Stokes s'escriuen amb formes diferencials amb valors en covectors, respectant la geometria de les equacions i, finalment, es discretitzen. El Métode de Volums Finits Mimètic obtingut en malles col·locades col·lapsa a la formulació de Trias et. al., donant així una sòlida base matemàtica a la teoria de preservació de simetria. A més, la interpolació de cel·les a cares s'estableix com la ponderada per volums mitjançant arguments de conservació del moment (o alternativament, mitjançant la funció de Reconstrucció en la malla "staggered"). A aquest respecte, també es mostra com la interpolació indueix la mètrica de volums "staggered" a les cares. A més, es proposa una nova explicació per a l'ús d'una interpolació en el punt mig en la quantitat escalar del terme convectiu. Es basa en el fet d'observar que la geometria és induïda per la funció de Reducció, implicant així una interpolació topològica a nivell de cocadena. Aquesta interpolació topològica, si s'assumeix local, és el punt mig. També s'estudien les condicions necessàries i suficients perquè el mètode sigui incondicionalment estable, que es basa en la conservació de l'energia cinètica. Preservar les simetries dels operadors diferencials és suficient per a malles "staggered"; tanmateix, en malles col·locades, un terme addicional associat amb el gradient de pressió és responsable d'introduir energia cinètica artificial. Un teorema demostrarà formalment que l'interpolador ponderat per volum és necessari per a convergir els resultats fins i tot per a malles col·locades altament distorsionades, sent l'únic interpolador capaç de fer això, sota algunes restriccions geomètriques de la malla. Finalment, es realitzen proves numèriques per avaluar la precisió d'un interpolador lineal, un de punt mig i un ponderat per volums en malles de baixa i alta distorsió. Es mostra que en el cas de malles de baixa distorsió, els tres donen resultats similars. Quan la malla es distorsiona, l'interpolador lineal comença a introduir energia al sistema, fent divergir les simulacions. La interpolació de punt mig demostra ser inestable en malles altament distorsionades, mentre que l'interpolador ponderat per volum demostra ser incondicionalment estable.

(Español) En esta tesis se presenta un Método de Volumen Finito mimético incondicionalmente estable para mallas no estructuradas colocadas. Los requisitos teóricos para el marco mimético se basan en conceptos de geometría diferencial y topología algebraica, de donde se construyen los operadores miméticos. Además, las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben con formas diferenciales con valores en covectores, respetando la geometría de las ecuaciones y, finalmente, se discretizan. El Método de Volumen Finito mimético obtenido en mallas colocadas colapsa a la formulación de Trias et. al., dando así una sólida base matemática a la teoría de preservación de simetría de los operadores diferenciales. Además, la interpolación de celdas a caras se establece como la ponderada por volumen mediante argumentos de conservación del momento (o alternativamente, mediante Reconstrucción en la malla "staggered"). A este respecto, también se muestra cómo la interpolación induce la métrica de volumen "staggered" a las caras. Además, se propone una nueva explicación para el uso de una interpolación en el punto medio en la cantidad escalar del término convectivo. Se basa en el hecho de observar que la geometría es inducida por la función de Reducción, implicando así una interpolación topológica a nivel de cocadena. Esta interpolación topológica, si se asume local, es el punto medio. También se estudian las condiciones necesarias y suficientes para que el método sea incondicionalmente estable, que se basa en la conservación de la energía cinética. Preservar las simetrías de los operadores diferenciales es suficiente para mallas "staggered"; sin embargo, en mallas colocadas, un término adicional asociado con el gradiente de presión es responsable de introducir energía cinética artificial. Un teorema demuestra formalmente que el interpolador ponderado por volumen es necesario para converger los resultados incluso para mallas colocadas altamente distorsionadas, siendo el único interpolador capaz de hacer eso bajo algunas restricciones geométricas de la malla. Finalmente, se realizan pruebas numéricas para evaluar la precisión de un interpolador lineal, uno de punto medio y uno ponderado por volumen en mallas de baja y alta distorsión. Se muestra que en el caso de mallas de baja distorsión, los tres dan resultados similares. Cuando la malla se distorsiona, el interpolador lineal comienza a introducir energía al sistema, haciendo divergir las simulaciones. La interpolación de punto medio demuestra ser inestable en mallas altamente distorsionadas, mientras que el interpolador ponderado por volumen demuestra ser incondicionalmente estable.