Numerical techniques for the solution of thermal problems in the context of geophysical inversions

Abstract

(English) The thermal structure of the Earth’s interior contains key information for the understanding of geodynamic processes, including plate tectonics, mantle convection, and the Earth’s overall thermal evolution. In particular, it is relevant to describe the geometry of the Lithosphere-Asthenosphere Boundary (LAB), separating the rigid Lithosphere from the ductile Asthenosphere. Accurately characterising this interface is key for the understanding of the thermal and mechanical structure of the Earth.

Most models used in practice involve a formulation that is not physically sound, at least, in some part of the domain. These models involve smearing out regions or empirical estimations that do not fulfil the energy equilibrium equations. These estimates are useful in practice, but a formulation that respects physical principles would be preferable.

This thesis focuses on developing forward solvers that allow for the computation of physically sound temperature fields within an inversion problem. The structure of the forward problem is altered by imposing the location of the LAB on the interior of the domain. The mathematical statement of this problem is presented in two versions and numerical methods to obtain solutions are developed and tested. The first solver enforces the isotherm condition by splitting the domain into Lithosphere and Asthenosphere, such that the LAB is a boundary to both, and explicitly adds equations to impose the condition. The second solver finds a mantle velocity field that enforces the isotherm condition indirectly. While the first solver needs to restore flux continuity by adding conditions, the second needs a velocity field that complies with the isotherm condition, both providing valuable information to improve geophysical understanding.

The methodologies are tested across different scenarios and LAB geometries, using synthetic and non-synthetic temperatures to assess their performance in geophysical inversions. Results demonstrate that the domain-splitting solver reliably and efficiently recovers the LAB geometry, making it suitable for large-scale applications. The second solver, although computationally expensive and sensitive to parameter choices, also constitutes a robust solver.

This thesis contributes to advance in the geophysics field by providing robust tools for thermal modelling. The tools have the potential to improve our understanding by solving partial differential equations providing insights into the thermal and mechanical properties of the Earth.

(Català) L'estructura tèrmica de l'interior de la Terra conté informació clau per a la comprensió dels processos geodinàmics, inclosa la tectònica de plaques, la convecció del mantell i l'evolució tèrmica global de la Terra. En particular, és rellevant descriure la geometria de l’interfície Litosfera-Astenosfera (LAB per les seves inicials angleses), separant la Litosfera rígida de l'Astenosfera dúctil. Caracteritzar amb precisió aquesta interfície és clau per a la comprensió de l'estructura tèrmica i mecànica de la Terra.

La majoria dels models utilitzats a la pràctica impliquen una formulació que no és físicament rigorosa, almenys, en alguna part del domini. Aquests models impliquen esborrar regions o estimacions empíriques que no compleixen les equacions d'equilibri energètic. Aquestes estimacions són útils a la pràctica, però seria preferible una formulació que respecti els principis físics.

Aquesta tesi se centra a desenvolupar solucionadors directes que permetin el càlcul de camps de temperatura seguint lleis físiques dins d'un problema d'inversió. L'estructura del problema directe es veu alterada imposant la ubicació del LAB a l'interior del domini. L'enunciat matemàtic d'aquest problema es presenta en dues versions i es desenvolupen i es posen a prova mètodes numèrics per obtenir solucions. El primer solucionador fa complir la condició isoterma dividint el domini en Litosfera i Astenosfera, de manera que el LAB és un límit per a ambdues, i afegeix explícitament equacions per imposar la condició. El segon solucionador troba un camp de velocitat del mantell que imposa indirectament la condició d'isoterma. Mentre que el primer solucionador ha de restaurar la continuïtat del flux afegint condicions, el segon necessita un camp de velocitat que compleixi amb la condició d'isoterma, ambdós proporcionant informació valuosa per millorar la comprensió geofísica.

Les metodologies es posen a prova en diferents escenaris i geometries LAB, utilitzant temperatures sintètiques i no sintètiques per avaluar el seu rendiment en inversions geofísiques. Els resultats demostren que el solucionador de divisió de domini recupera de manera fiable i eficient la geometria LAB, la qual cosa la fa apta per a aplicacions a gran escala. El segon solucionador, encara que computacionalment costós i sensible a les opcions de paràmetres, també constitueix un solucionador robust.

Aquesta tesi contribueix a avançar en el camp de la geofísica proporcionant eines robustes per a la modelització tèrmica. Les eines tenen el potencial de millorar la nostra comprensió mitjançant la resolució d'equacions diferencials parcials que proporcionen informació sobre les propietats tèrmiques i mecàniques de la Terra.

(Español) La estructura térmica del interior de la Tierra contiene información clave para la comprensión de los procesos geodinámicos, incluyendo la tectónica de placas, la convección del manto y la evolución térmica general de la Tierra. En particular, es relevante describir la geometría de la interfaz litosfera-astenosfera (LAB por sus siglas en inglés), que separa la Litósfera rígida de la Astenosfera dúctil. Caracterizar con precisión esta interfaz es clave para la comprensión de la estructura térmica y mecánica de la Tierra.

La mayoría de los modelos utilizados en la práctica implican una formulación que no es físicamente rigurosa, al menos, en alguna parte del dominio. Estos modelos implican la modificación de resultados en ciertas de regiones o estimaciones empíricas que no cumplen las ecuaciones de equilibrio energético. Estas estimaciones son útiles en la práctica, pero sería preferible una formulación que respete los principios físicos.

Esta tesis se centra en el desarrollo de solucionadores directos que permitan el cálculo de campos de temperatura siguiendo leyes físicas dentro de un problema de inversión. La estructura del problema directo se altera imponiendo la ubicación del LAB en el interior del dominio. El enunciado matemático de este problema se presenta en dos versiones y se desarrollan y prueban métodos numéricos para obtener soluciones. El primer solucionador aplica la condición de isoterma dividiendo el dominio en Litósfera y Astenosfera, de modo que la LAB sea un límite para ambas, y agrega explícitamente ecuaciones para imponer la condición. El segundo solucionador encuentra un campo de velocidad del manto que aplica la condición de isoterma indirectamente. Mientras que el primer solucionador necesita restaurar la continuidad del flujo agregando condiciones, el segundo necesita un campo de velocidad que cumpla con la condición de isoterma, ambos brindan información valiosa para mejorar la comprensión geofísica.

Las metodologías se prueban en diferentes escenarios y geometrías de LAB, utilizando temperaturas sintéticas y no sintéticas para evaluar su desempeño en inversiones geofísicas. Los resultados demuestran que el solucionador de división de dominio recupera de manera confiable y eficiente la geometría de LAB, lo que lo hace adecuado para aplicaciones a gran escala. El segundo solucionador, aunque computacionalmente costoso y sensible a las opciones de parámetros, también constituye un solucionador robusto.

Esta tesis contribuye al avance en el campo de la geofísica al proporcionar herramientas robustas para el modelado térmico. Las herramientas tienen el potencial de mejorar nuestra comprensión al resolver ecuaciones diferenciales parciales que brindan información sobre las propiedades térmicas y mecánicas de la Tierra.