Oscillatory motions, parabolic orbits and collision orbits in the planar circular restricted three-body problem

Abstract

(English) The planar circular restricted three body problem (PCRTBP) models the motion of a massless body under the attraction of other two bodies, the primaries, which describe circular orbits around their common center of mass. In a suitable system of coordinates, this is a two degrees of freedom Hamiltonian system. The orbits of this system are either defined for all (future or past) time or eventually go to collision with one of the primaries. For orbits defined for all time, Chazy provided a classification of all possible asymptotic behaviors, usually called final motions. By considering a sufficiently small mass ratio between the primaries, we analyze the interplay between collision orbits and various final motions and construct several types of dynamics. We show that orbits corresponding to any combination of past and future final motions can be created to pass arbitrarily close to either one of the primaries. In particular, we also establish oscillatory motions accumulating to collisions. That is, oscillatory motions in both position and velocity, meaning that as time tends to infinity, the superior limit of the position and velocity is infinity while the inferior limit of the distance to one of the primaries is zero. Additionally, we construct arbitrarily large ejection-collision orbits (orbits which experience collision in both past and future times) and periodic orbits that are arbitrarily large and get arbitrarily close to either one of the primaries. Combining these results, we construct ejection-collision orbits connecting both primaries.

(Català) El problema circular restringit dels tres cossos modela el moviment d’un cos sense massa sota l’atracció dels altres dos, els primaris, que descriuen òrbites circulars al voltant del seu centre de massa comú. En un sistema de coordenades adequat, aquest és un sistema hamiltonià de dos graus de llibertat. Les òrbites d’aquest sistema estan definides ja sigui per a tot temps (futur o passat) o finalment van cap a una col·lisió amb un dels primaris. Per a les òrbites definides per tot temps, Chazy va proporcionar una classificació de tots els possibles comportaments asimptòtics, sovint anomenats moviments finals. Considerant un quocient de masses prou petit entre els primaris, analitzem la interacció entre les òrbites de col·lisió i els diversos moviments finals i construïm diversos tipus de dinàmiques. En particular, mostrem que existeixen òrbites corresponents a qualsevol combinació de moviments finals passats i futurs que passen arbitràriament a prop de qualsevol dels primaris. És a dir, establim moviments oscil·latoris tant en posició com en velocitat, òrbites tals que, a mesura que el temps tendeix a l’infinit, el límit superior de la posició i velocitat és infinit mentre que el límit inferior de la distància a un dels primaris és zero. A més, construïm òrbites d’ejecció-col·lisió arbitràriament grans (òrbites que experimenten col·lisió tant en el passat com en el futur) i òrbites periòdiques que són arbitràriament grans i s’aproximen arbitràriament a qualsevol dels primaris. Combinant aquests resultats, construïm també òrbites d’ejecció-col·lisió que connecten ambdós primaris.

(Español) El problema restringido circular plano de tres cuerpos modela el movimiento de un cuerpo sin masa bajo la atracción de otros dos cuerpos, los primarios, que describen órbitas circulares alrededor de su centro de masa común. En un sistema de coordenadas adecuado, este es un sistema hamiltoniano con dos grados de libertad. Las órbitas de este sistema están definidas para todo tiempo (futuro o pasado) o eventualmente colisionan con uno de los primarios. Para las órbitas definidas para todo tiempo, Chazy proporcionó una clasificación de todos los comportamientos asintóticos posibles, usualmente llamados movimientos finales. Al considerar una razón de masa suficientemente pequeña entre los primarios, analizamos la interacción entre órbitas de colisión y varios movimientos finales, y construimos varios tipos de dinámicas. Demostramos que se existen órbitas correspondientes a cualquier combinación de movimientos finales pasados y futuros que pasen arbitrariamente cerca de cualquiera de los primarios. Es decir, movimientos oscilatorios tanto en posición como en velocidad, lo que significa que, a medida que el tiempo tiende a infinito, el límite superior de la posición y la velocidad es infinito, mientras que el límite inferior de la distancia a uno de los primarios es cero. Además, construimos órbitas de eyección-colisión arbitrariamente grandes (órbitas que experimentan colisión tanto en el pasado como en el futuro) y órbitas periódicas que son arbitrariamente grandes y se acercan arbitrariamente a cualquiera de los primarios. Combinando estos resultados, construimos órbitas de eyección-colisón que conectan ambos primarios.