The role of resonances in Arnold diffusion

Abstract

(English) This thesis presents contributions to the areas of exponentially small splitting of separatrices and Arnold diffusion in the context of theory of perturbation in Hamiltonian systems In the first chapter que study the problem of exponentially small splitting in planar Hamiltonian systems of one and a half degrees of freedom with a chomoclinic connections under the effect of a fast periodic perturbation. The literature provides different asymptotic formulas to measure the distance between the invariant manifolds in this context. In many cases, these formulas consist in a validation of the classical Melnikov approximation. In others, an alternative more sophisticated first order of the splitting based on what is referred to as inner equation has to be given. In both cases, the validity of the formulas depends on certain non-degeneracy conditions that ensures that the leading term does not vanish. The question we address is how we can describe the splitting when the non-degeneracy conditions are not met in a family of planar systems. Our result shows that the order of the splitting changes under the degeneracy conditions, but the inner equation is still valid a a tool to describe the splitting. After establishing the general results, we study with more depth the case of the classical pendulum, which is, in turn, motivated by a possible relation to Arnold's model of diffusion. For the pendulum we introduce an explicit formula for the splitting distance in a simple case of the perturbation and we illustrate a more complex case by a numerical exploration. The second chapter centers on the generalized Arnold model. The original model was used to give, for the first time, an example of global instability in a nearly integrable system under the hypothesis that one of the perturbative parameters is exponentially small with respect to the other. In particular, Arnold proved that there exist a orbits that drift in one of the action following a chain of invariant tori at the resonance I_1=0. In a posterior result, D. Sauzin proposed a generalized version that extends the number of dimensions and generalizes the temporal dependence of the perturbation. The author studied the exponentially small character of the splitting for the tori of the aforementioned family and he gave precise exponentially small bounds. In this work we revisit the generalized Arnold model —restricted to two and a half degrees of freedom— with the aim of centering on the heteroclinic connections between invariant tori around double resonances. Our result gives explicit conditions that ensure the existence of a family of heteroclinic connections of algebraig length in the perturbative parameters. In particular, we show that, for a double resonance (0,p/q), the existence of two families of heteroclinic connections of length d ~ ε q exp(-q) under the restrictionn μ ~ √ε. The constant that determine exactly the restrictions on the parameters and the length of the connections depend on the double strongly on the resonance under consideration. We also include a comment on the possible application of the result to the construction of transition chains, even though, for the moment, we have not obtained any significant result in this direction. Our methods consist in techniques of analysis of exponentially small phenomena based on the Hamilton-Jacobi formalism. Besides, we exploit the advantage posed by usinng double ressonances, as the process of establishing the dominance of certain harmonics in exponentially small functions of two periodic functions is greatly simplified.

(Català) Aquesta tesi presenta contribucions a les àrees d'escissió exponencialment petita de separatrius i difusió d'Arnold dins de la teoria de pertorbacions de sistemes hamiltonians. Al primer capítol hi estudiem el problema de l'escissió de separatrius en sistemes hamiltonians d'un grau i mig de llibertat amb connexions homoclíniques sobre els quals s'apliquen pertorbacions periòdiques ràpides. La literatura proporciona diferents fórmules asimptòtiques per a mesurar la distància entre les varietats invariants en aquest context. En molts casos, aquestes fórmules consisteixen en una validació de l'aproximació clàssica de Melnikov. En altres casos, s'han de donar primers ordres de la distància d'escissió més sofisticats basats en el que es coneix com a equació inner. En ambdós escenaris la validesa de les fórmules depèn de certes condicions de no degeneració que asseguren que el terme principal no s'anul·la. La pregunta que tractem és com es pot descriure l'escissió quan no es compleixen les condicions de no degeneració per a una família de sistemes mecànics al pla. El nostre resultat mostra que l'ordre de l'escissió canvia sota les condicions de degeneració però l'equació inner segueix sent vàlida com a eina per descriure l'escissió. Després d'establir els resultats generals, aprofundim en el cas particular del pèndol clàssic, exemple que, al seu torn, ve motivat per una possible connexió amb el model de difusió d'Arnold. En el cas del pèndol, introduïm una fórmula per a la distància d'escissió explícita per a un cas senzill de la pertorbació i il·lustrem un cas més complex mitjançant una exploració numèrica. El segon capítol se centra en un model generalitzat d'Arnold. El model original s'utilitzà per donar per primera vegada un exemple d'inestabilitat global en un sistema quasi integrable sota la hipòtesi que un dels paràmetres pertorbatius fos exponencialment petit respecte a l'altre. En particular, Arnold demostrà que existeix una òrbita que experimenta un canvi en una de les accions a mesura que es desplaça al llarg de la família de tors quasiperiòdics invariants de la ressonància simple I_1=0. En un resultat posterior, D. Sauzin proposa una versió generalitzada que estén el nombre de dimensions i la generalitat de la dependència temporal de la pertorbació. Estudia el caràcter exponencialment petit de la pertorbació per a la mateixa família de tors invariants i proporciona fites superiors exponencialment petites. En aquest treball recuperem el model generalitzat d'Arnold —restringit a dos graus i mig de llibertat— amb la intenció de centrar-nos en les connexions heteroclíniques entre tors invariants al voltant de ressonàncies dobles. El nostre resultat dona condicions explícites que asseguren l'existència d'una família de connexions heteroclíniques de longitud algebraica en els paràmetres pertorbatius. En particular, mostrem, per a una ressonància doble (0,p/q), l'existència de dues famílies de connexions heteroclíniques de longitud d ~ ε q exp(-q) sota la restricció μ ~ √ε. Les constants que determinen exactament les restriccions en els paràmetres i la longitud de les connexions depenen sensiblement de la ressonància doble que considerem. Incloem també un comentari sobre la possible aplicació del resultat a la construcció de cadenes de transició, tot i que, de moment, no hem assolit cap resultat significatiu en aquesta direcció. Els nostres mètodes consisteixen en tècniques d'anàlisi de fenòmens exponencialment petits basades en el formalisme de Hamilton-Jacobi. A més, explotem l'avantatge que suposa centrar-se en ressonàncies dobles, ja que se simplifica enormement el procés de determinar la dominància de certs harmònics en funcions exponencialment petites de dues variables periòdiques.

(Español) Esta tesis presenta contribuciones a las áreas de escisión exponencialmente pequeña de separaciones y difusión de Arnold dentro de la teoría de perturbaciones de sistemas hamiltonianos. En el primer capítulo estudiamos el problema de la escisión de separatrices en sistemas de un grado y medio de libertad con conexiones homoclínicas sobre las cuales se aplican perturbaciones periódicas rápidas. La literatura proporciona diferentes fórmulas asintóticas para medir la distancia entre las variedades invariantes en este contexto. En muchos casos, estas fórmulas consisten en una validación de la aproximación clásica de Melnikov. En otros, hay que dar un primer orden más sofisticado de la distancia de escisión basado en lo que se conoce como ecuación inner. En ambos escenarios la validez de las fórmulas depende de ciertas condiciones de no degeneración que aseguran que el término principal no se anula. La pregunta que tratamos es cómo se puede describir la escisión cuando no se cumplen las condiciones de no degeneración para una familia de sistemas mecánicos en el plano. Nuestro resultado muestra que el orden de la escisión cambia bajo las condiciones de degeneración, pero la ecuación inner sigue siendo válida como herramienta para describir el término dominante. Después de establecer los resultados generales, profundizamos en el caso particular del péndulo clásico, ejemplo que, a su vez, está motivado por una posible conexión con el modelo de difusión de Arnold. En el caso del péndulo, demostramos una fórmula explícita para la distancia de escisión en un caso sencillo de degeneración e ilustramos un caso más complejo mediante una expliración numérica. El segundo capítulo se centra en un modelo generalizado de Arnold. El modelo original se utilizó para dar por primera vez un ejemplo de inestabilidad global en un sistema cuasi integrabla bajo la hipótesis de que uno de los parámetros perturbativos fuera exponencialmente pequeño respecto al otro. En particular, Arnold demostró que existe una órbita que experimenta un cambio finito en una de las acciones a medida que se desplaza a lo largo de una familia de toros invariantes localizada en la resonancia simple I_1=0. En un resultado posterior, D. Sauzin propone una versión ampliada del modelo que extiende el número de dimensiones y la generalidad de la dependencia temporal de la perturbación. Estudia el carácter exponencialmente pequeño de la escisión de separatrices de la misma familia de toros invariantes y proporciona cotas superiores exponencialmente pequeñas precisas. En este trabajo recuperamos el modelo generalizado de Arnold —restringido a dos grados y medio de libertad— con la intención de centrarnos en las conexiones heteroclínicas entre toros invariantes alrededor de resonancias dobles. Nuestro resultado da condiciones explícitas que aseguran la existencia de una familia de conexiones heteroclínicas de longitud algebraica en los parámetros perturbativos. En particular, demostramos, para una resonancia doble (0,p/q), la existencia de dos familias de conexiones heteroclínicas de longitud d ~ ε q exp(-q) bajo la restricción μ ~ √ε . Las constantes que determinan exactamente las restricciones en los parámetros y la longitud de las conexiones dependen sensiblemente de la resonancia doble que consideremos. Incluimos también un comentario sobre la posible aplicación del resultado a la construcción de cadenas de transición, aunque, de momento, no hemos conseguido ningún resultado significativo en esta dirección. Nuestros métodos consisten en técnicas de análisis de fenómenos exponencialmente pequeños basados en el formalismo de Hamilton-Jacobi. Además, explotamos la ventaja que supone centrarse en resonancias dobles, ya que se simplifa enormemente del proceso de analizar la dominancia de cientros armónicos en funciones exponencialmente pequeñas de dos variables periódicas.