Capacitary function spaces and applications

Abstract

The first part of the thesis is devoted to the analysis on a capacity space, with capacities as substitutes of measures in the study of function spaces. The goal is to extend to the associated function lattices some aspects of the theory of Banach function spaces, to show how the general theory can be applied to classical function spaces such as Lorentz spaces, and to complete the real interpolation theory for these spaces included in [CeClM] and [Ce].

In the second part of the thesis, we present an integral inequality connecting a function space norm of the gradient of a function to an integral of the corresponding capacity of the conductor between two level surfaces of the function, which extends the estimates obtained by V. Maz’ya and S. Costea, and sharp capacitary inequalities due to V. Maz’ya in the case of the Sobolev norm. The inequality, obtained under appropriate convexity conditions on the function space, gives a characterization of Sobolev type inequalities involving two measures, necessary and sufficient conditions for Sobolev isocapacitary type inequalities, and self-improvements for integrability of Lipschitz functions.

La primera part està dedicada a l’anàlisi d’un espai de capacitat, amb capacitats com a substituts de les mesures en l’estudi d’espais de funcions. L’objectiu és estendre als recicles de funcions associats alguns aspectes de la la teoria d’espais de funcions de Banach, mostrar com la teoria general pot ser aplicada a espais funcionals clàssics com els espais de Lorentz, i completar la teoria d’interpolació real d’aquests espais inclosos en [CeClM] i [Ce].

A la segona part de la tesi es presenta una desigualtat integral que connecta la norma del gradient d’una funció en un espai de funcions amb la integral de la corresponent capacitat del conductor entre dues superfícies de nivell de la funció, que estén les estimacions obtingudes per V. Maz’ya i S. Costea, i desigualtats capacitàries fortes de V. Maz’ya en el cas de la norma de Sobolev. La desigualtat, obtinguda sota condicions de convexitat pel espai funcional, permet una caracterització de les desigualtats de tipus Sobolev per dues mesures, condicions necessàries i suficients per desigualtats isocapacitàries de tipus Sobolev, i la millora de l’autointegrabilitat de les funcions de Lipschitz.