Direct Numerical Simulation of Turbulent Dispersion of Buoyant Plumes in a Pressure-Driven channel flow.

Abstract

Simulacó numérica directa de la dispersió turbulenta de plomalls amb flotació en un flux en un canal Alexandre Fabregat Tomás, Tarragona, octubre del 2006 <br/>1 Introducció<br/>L'objectiu d'aquest treball és estudiar la dispersió turbulenta de calor en diferents configuracions basades en el canal desenvolupat mitjançant DNS (Direct Numerical Simulations). Aquesta eina ha demostrat ser de gran utilitat a l'hora d'estudiar fluxos turbulents ja que permet, donada una malla computacional capaç de capturar totes les estructures del flux i un esquema que minimitzi els errors i la dissipació numérica, descriure acuradament l'evolució temporal del flux. Permet a més, donada la descripció tridimensional i temporal del flux, determinar amb precisió qualsevol quantitat que seria impossible d'obtenir experimentalment.<br/>En el flux en un canal, el fluid esmou entre dues parets planes, llises i paral·leles separades una distància 2d impulsat per un gradient constant mitjà de pressió. El flux s'anomena desenvolupat quan ja no hi ha efectes de regió d'entrada i la única inhomogeneïtat es troba en la direcció normal a la paret. Sota aquestes condicions, les quantitats promitjades esdevenen estacionàries en el temps.<br/>En aquest treball s'ha validat el codi computacional mitjançant la reproducció d'algunes configuracions de flux prèviament estudiades per altres autors. Els nous coneixements en l'estudi de la dispersió turbulenta de calor s'han obtingut a l'incloure, en un flux totalment desenvolupat en un canal, una font lineal centrada verticalment que provoca l'aparició d'un plomall amb una temperatura més alta que la del flux del fons i que per tant, al tenir una menor densitat, experimenta flotació i es deflecteix. L'amitjanament temporal del flux permet estudiar les diferents contribucions dels diferents termes rellevants en les equacions de transport.<br/>És d'especial interés la comparativa d'aquests resultats amb els corresponents a la formació d'un plomall a partir d'una font lineal d'un escalar passiu.<br/>Per altra banda també s'ha estudiat l'eficiència en paral·lel dels mètodes multigrid en la resolució d'equacions de Poisson. Aquestes equacions són d'especial interés ja que apareixen en el càlcul de la pressió i representen un coll d'ampolla en termes de costos computacionals. Aquest mètode numèric ha estat comparat amb els mètodes de gradient conjugat (anteriorment emprats en el codi 3DINAMICS) en la resolució de diferents problemes comparant els costos en termes de temps de CPU i la seua escalabilitat en la màquina multiprocessador de memòria distribuïda del grup de recerca de Mecànica de Fluids de Tarragona.<br/>2 Descripció matemàtica<br/>Un cop adimensionalitzades mitjançant les escales adequades, les equacions de transport de quantitat de moviment i energia han estat discretitzades sobre una malla desplaçada mitjançant el mètode de volums finits emprant un esquema centrat de segon ordre. La discretització dels termes advectius en els casos amb fonts lineals ha requerit, però, d'un cura especial ja que la no-linealitat d'aquests termes pot provocar oscil·lacions artificials en el camp dels escalars. La difusió numèrica dels mètodes upwind, com el QUICK, ha estat quantificada i comparada amb resultats obtinguts per a esquemes centrats de segon ordre. Les equacions han estat integrades en el temps mitjançant un esquema implícit de segon ordre tipus Crank-Nicholson. També ha estat necessari implementar condicions de sortida per a la temperatura en els casos A i C del tipus no reflectant per tal de garantir la conservació i evitar l'aparició d'estructures artificials en el flux.<br/>3 Descripció física<br/>La figura 1 presenta un esquema del domini computacional corresponent al canal desenvolupat. De l'esquema es desprén que x, y i z corresponen a les direccions principal del flux, la perpendicular i la normal a les parets respectivament. Les configuracions del flux estudiades es troben resumides a la taula 1 on s'indica la resolució de la xarxa computacional, el nombre de Reynolds (basat en la velocitat de fricció ut) i en el casos amb flotació, el nombre de Grashof, la temperatura de referència i la direcció de flotació (la direcció del vector gravetat).<br/>Les dimensions del canal s´on 8pd×2pd×2d en les direccions x, y i z respectivament.<br/>En el cas A la temperatura representa un escalar de manera que el plomall format és passiu, és a dir, no hi ha acoblament entre les equacions de quantitat de moviment i energia. A diferència d'aquest, en els casos B i C totes dues equacions queden acoblades pel terme de flotació. Aquest terme apareix quan les diferències de temperatura en el si del fluid generen diferències de densitat. En el cas B, el canal vertical amb convecció mixta, cada paret del canal es troba a una temperatura constant però diferent. El vector gravetat i la direcció del corrent estan alineades de manera que aquesta direcció continua sent homogènia. En la zona propera a la paret calenta la flotació actua en la direcció del corrent imposada pel gradient mitjà de pressió. En canvi, en la zona propera a la paret freda, la flotació s'oposa al moviment del flux.<br/>El cas C és similar al cas A però en aquesta ocasió la temperatura no es considera un escalar passiu i per tant la flotació acobla el camp dinàmic amb el de temperatures. El vector gravetat actua en aquest cas en la direcció normal. La inhomogeneïtat en la direcció del flux no permet continuar emprant condicions de contorn periòdiques i per tant, al domini presentat en la figura 1, se li ha acoblat una regió auxiliar a l'entrada on es resolen únicament les equacions de quantitat de moviment. Els camps de velocitat i pressió per a un canal totalment desenvolupat obtinguts en aquest domini auxiliar s'empraran com a condició de contorn a l'entrada del domini de computació. No és necessari cap tipus d'interpolació ja que la resolució del a xarxa d'aquest domini auxiliar és la mateixa que l'emprada en el domini de computació.<br/>4 Resultats<br/>Els resultats per a les simulacions presentades en la taula 1 contenen, principalment, els perfils de velocitat i temperatura mitjans així com la intensitat de les fluctuacions. A més, es presenten els perfils de les diferents contribucions dels termes relevants de les equacions de transport amitjanades. Per al cas C, els camps dinàmics i de temperatura no estan desenvolupats. Els perfils mitjans a diferents posicions aigües avall permeten estudiar l'evolució del plomall ascendent a més d'analitzar com la flotació afecta al balanç de les diferents contribucions. La figure 2 presenta el camp mitjà de temperatures per al cas C amb les tres posicions en la direcció principal del flux per a les quals s'han inclòs els perfils.<br/>Finalment, es presenten els resultats corresponents a la comparativa entre els diferents solvers per a una equació de Poisson. Tots els mètodes numèrics han es-<br/>3<br/>Figura 2: Camp mitjà de temperatures per al cas C tat paral·lelitzats mitjançant les llibreries Message Passing Interface. En la figura 3 es presenten com a exemple els resultats (en termes de temps de CPU i speedup) per a la resolució de l'equació de Poisson per al desacoblament de pressió i velocitat en el cas del flux desenvolupat en un canal.<br/>Els resultats de speed-up per als diferents mètodes mostren la baixa escalabilitat del solver multigrid comparat amb els altres mètodes del tipus gradient conjugat. La raó radica en les grans necessitats de comunicació d'un algoritme construït sobre un esquema de relaxació tipus SOR. Tanmateix, multigrid és el mètode numèric que requereix menys temps de CPU per concloure la tasca. El factor respecte als mètodes de gradient conjugat pot arribar a ser de 30 i per tant és el millor candidat per a la resolució d'aquests tipus de problemes.

The main goal of this work is to study the turbulent heat transfer in a developed channel flow using Direct Numerical Simulations (DNS). These simulations solve explicitly all the scales present in the turbulent flow so, even for moderate Reynolds numbers, the discretization grids need to be fine enough to capture the smallest structures of the flow and, consequently, DNS demands large computational resources. The flow, driven by a mean constant pressure gradient in the streamwise direction, is confined between two smooth, parallel and infinite walls separated a distance 2d.<br/>The turbulent heat transport is studied for three different flow configurations.<br/>Some of them are used as benchmark results for this work. The three cases reported can be summarized as:<br/>· case A: Scalar plume from a line source in a horizontal channel.<br/>· case B:Mixed convection with the gravity vector aligned with the streamwise direction (vertical channel).<br/>· case C: Buoyant plume from a line source in a horizontal channel.<br/>In addition, preliminary results for a turbulent reacting flow in a fully developed channel are also presented.<br/>In the case B heat flux results from a temperature difference between the channel walls. The gravity vector is aligned with the streamwise direction and the Grashof, Reynolds and Prandtl numbers are Gr = 9.6 · 106, Ret = 150 and Pr = 0.71 respectively. Close to the hot wall, buoyancy acts aligned to the flow direction imposed by the mean pressure gradient so velocities are generally increased in comparison with a purely forced convection flow. Oppositely, near the cold wall, buoyancy is opposed to the flow and consequently velocities are decreased.<br/>Cases A and C are similar because in both cases a hot fluid is released within a cold background flow through a line source vertically centered in the wall-normal direction located at the inlet. The height of the source is 0.054d. The injected hot fluid disperses forming a hot plume that is convected downstream between the two adiabatic walls of the channel.<br/>The difference between cases A and C lies in the fact that for case A heat and momentum are decoupled and temperature acts as an scalar. Advection and diffusion are the only phenomena responsible for the evolution of the plume. On the other hand, in case C, buoyancy couples heat and momentum and, consequently, the plume floats drifting upward as it advances in the channel due to its lower density. In case C, the streamwise direction is not homogenous because of the coupling between heat and momentum. To guarantee developed conditions at the inlet of the channel it has been necessary to attach a buffer domain just before the computational domain. In this buffer domain, the momentum transport equations for a fully developed channel are solved with the same resolution used in the main domain.<br/>The results of cases A and B have been used to validate the 3DINAMICS CFD code by comparison with data reported in the literature. This code is written in FORTRAN 90 and parallelized using the Message Passing Interface (MPI-CH<br/>library). It uses the second order in time Crank-Nicholson scheme to integrate numerically the transport equations which are discretized spatially using the centered second-order finite volume approach.<br/>The analysis of averaged turbulent quantities and the contributions of the different terms of the time-averaged transport equations is used to show how buoyancy affects the turbulent transport of momentum and heat along the channel.<br/>Finally, following a similar configuration than that of case A, a chemical reactant<br/>A released through line source reacts with a background reactant B following a second order chemical reaction with Damkh¨oler number of 1. Preliminary results for turbulent species transport are also included in this work.<br/>Special attention have been devoted to the discretization of the advective terms to avoid non-realistic values of the variables because of the non-linearities of the transport equations. The conservative non-reflecting boundary conditions have been implemented at the outlet to simulate the convected outflow when the streamwise direction can not be considered homogeneous, as in case C. For homogeneous directions, periodic boundary conditions have been used.<br/>Large grid resolutions (up to 8 million grid nodes for case C including the buffer region) demand important computational resources. A parallel Multigrid solver has substituted the previous conjugate gradient method to solve the Poisson equation in the pressure calculation. This step was the most expensive in terms of CPU costs. The Multigrid method efficiency has been compared with two different versions of the conjugate gradient approach and it has been demonstrated that this method is the most efficient in terms of CPU time although the current algorithmcan be improved to enhance the scalability inmultiprocessor computers.