Codes over rings: maximum distance separability and self-duality

Abstract

Una parte imporante de la teoría de códigos es la de determinar cotas del número de palabras de un código. Uno de los problemas fundamentales de la teoría de códigos es encontrar códigos con la máxima distancia mínima d. Los investigadores han encontrado diferentes cotas superiores e inferiores para los códigos lineales y no lineales, por ejemplo cotas de Plotkin, Johnson, Singleton, Elias, Linear Programming, Griesmer, Gilbert y Varshamov. En esta tesis se ha estudiado la cota de Singleton, que es una cota superior de la distancia mínima de un código, y se han definido los códigos Z2Z4-aditivos a distancia máxima separable (MDS). Dos cotas diferentes se presentan en este trabajo en el que se han caracterizado todos los códigos Z2Z4-aditivos a distancia máxima separable con respecto a la cota de Singleton (MDSS) y condiciones en los parámetros para códigos Z2Z4-aditivos a distancia máxima separable con respecto a la cota obtenida a partir del rango (MDSR). La generación de nuevos códigos ha sido siempre un tema interesante, dando lugar al estudio de las propiedades de estos nuevos códigos generados y a establecer nuevos resultados. Los códigos autoduales son una clase importante de códigos. Hay numerosas construcciones de códigos autoduales a partir de objetos combinatorios. En este trabajo se han dado dos métodos para generar códigos autoduales a partir de esquemas de asociación de clase 3; las construcciones pure y bordered. Con estos dos métodos, se han obtenido códigos binarios autoduales a partir de esquemas de asociación de clase 3 no simétricos y códigos sobre Zk a partir de esquemas de asociación rectangulares. Borges, Dougherty y Fernández-Córdoba en 2011 presentaron un método para generar nuevos códigos Z2Z4-aditivos autoduales a partir de otros códigos Z2Z4-aditivos autoduales extendiendo su longitud. En este trabajo se ha comprobado si las propiedades como separabilidad, antipodalidad y el tipo del código se mantienen o no cuando se utiliza este método.

Bounds on the size of a code are an important part of coding theory. One of the fundamental problems in coding theory is to find a code with largest possible distance d. Researchers have found different upper and lower bounds on the size of linear and nonlinear codes e.g., Plotkin, Johnson, Singleton, Elias, Linear Programming, Griesmer, Gilbert and Varshamov bounds. In this dissertation we have studied the Singleton bound, which is an upper bound on the minimum distance of a code, and have defined maximum distance separable (MDS) Z2Z4 additive codes. Two different forms of these bounds are presented in this work where we have characterized all maximum distance separable Z2Z4-additive codes with respect to the Singleton bound (MDSS) and strong conditions are given for maximum distance separable Z2Z4-additive codes with respect to the rank bound (MDSR). Generation of new codes has always been an interesting topic, where one can study the properties of these newly generated codes and establish new results. Self-dual codes are an important class of codes. There are numerous constructions of self-dual codes from combinatorial objects. In this work we have given two methods for generating self-dual codes from 3-class association schemes, namely pure construction and bordered construction. Binary self-dual codes are generated by using these two methods from non-symmetric 3-class association schemes and self-dual codes from rectangular association schemes are generated over Zk. Borges, Dougherty and Fernández-Córdoba in 2011 presented a method to generate new Z2Z4-additive self-dual codes from the existing Z2Z4-additive selfdual codes by extending their length. In this work we have verified whether properties like separability, antipodality and code Type are retained or not, when using this method.