On the ranking of social alternatives

Abstract

Ser millor que els altres ha estat una aspiració de totes les persones competitives encara que hi hagi un beneficis econòmic o simplement de prestigi. És comú que la decisió qui és millor que un altre es basa en la votació o de diversos criteris, que després d'haver triat la metodologia apropiada els combinem amb la finalitat d'obtenir un rànquing de gran prestigi de les persones interessades. Aquesta tesi és sobre aquests mètodes i aquests criteris. Aquí estudiem com diferents factors interactuen dins d'un índex, s'analitza quines són les condicions en el conjunt dels votants de tal manera que, arran d'una regla de decisió supermajoria, obtenir un rànquing transitiu i finalment, investigar com un grup de agents pot classificar a ells mateixos en una forma en què cada individu és imparcial pel seu rang. Cada d'aquests temes està elaborada en un capítol d'aquesta tesi doctoral. Dediquem el primer en l'Índex de Desenvolupament Humà (IDH), que és una mesura del nivell de desenvolupament d'un país que té en compte els components que van més enllà dels ingressos. En aquest capítol, primer revisem tots els IDH passats i presents amb les corresponents taxes de substitució (MRS). Trobem que, segons l'IDH existent, l'aplicació d'una política de salut en un país determinat és independent del nivell d'educació, i viceversa. D'altra banda, arran d'una literatura que indica que l'educació i la salut són rellevants en la producció de l'altra, proposem un altre IDH alternatiu que compleix amb aquests descobriments. Al segon capítol hem establert una condició necessària i suficient per a l'obtenció d'una relació transitiva sota una regla de decisió de supermajoria. En principi suposem que les preferències individuals són ordres lineals. En primer lloc fem una reducció de la població, excloent les persones que tenen les preferències inverses, i després considerem una regla equivalent que depèn dels agents de la població reduïda. La nostra condició s'aplica en aquesta població i és una condició necessària i suficient per garantir les preferències socials transitives. La nostra condició està feta de dues propietats diferents. Segons la primera, cada vegada que hi ha una alternativa que és preferit als altres dos per un nombre suficient d'individus a continuació es garanteix transitivitat. La segona condició descarta la possibilitat d'un cicle a la supermajoria relació, quan no hi ha cap alternativa que està preferida per la supermajoria. A continuació, estenem el nostre resultat al cas en què les preferències individuals són ordres febles mitjançant la introducció d'una relació de regla de majoria qualificada equivalent en un perfil construït per només ordres lineals. Finalment, apliquem la nostra condició en aquesta . A l'últim capítol considerem una situació en què hem de classificar un conjunt d'individus quan cada agent dóna una llista ordenada representant la seva opinió sobre la posició dels altres. Anomenem una regla que determina la classificació final amb funció de rànquing social i diem que la mateixa és imparcial si un canvi de preferència d'un sol agent no influeix al seu rànquing. Aquí construïm diverses funcions que ens indiquen el resultat, dient que no hi ha cap funcions de classificació social i imparcial que compleix el Pareto total. Acceptant aquesta debilitat, introduïm addicionals propietats i demostrem que hi ha funcions imparcials que els compleixen tots alhora. Al final, fem una caracterització de les funcions imparcials mitjançant l'ús de tres axiomes, demostrant que són una condició suficient i necessària per a la imparcialitat.

Being better than the others has been an aspiration of every competitive individual whether there are economic or simply prestigious benefits. It is common that the decision of who is better than whom is based on either voting or diverse criteria, which after having chosen the appropriate methodology we combine in order to obtain a highly regarded ranking of the concerned individuals. This dissertation is about these methodologies and these criteria. We study how different factors interact within a particular index, we examine what are the conditions on the set of voters such that, following a supermajority decision rule, obtain a transitive ranking, and finally we investigate how a group of peers can rank themselves in a way that each individual is impartial on his rank. Each of these topics is elaborated in a different chapter of this dissertation. We devote the first one to the Human Development Index (HDI), which is a measure of a country's development level that considers components that go beyond income. In this chapter first we revise all past and present HDI together with their corresponding marginal rates of substitution (MRS). We find that according to the existing HDI the implementation of a certain health policy in a country is independent of its education level and vice versa. On the other hand, following a literature indicating that education and health are relevant in the production of the other we propose an alternative HDI that complies with these findings. In chapter 2 we establish a necessary and sufficient single-profile condition for obtaining a transitive relation under a supermajority decision rule. On the beginning we suppose that the individual preferences are linear orders. We start by reducing the population by disregarding the individuals who have inverse preferences over the alternative set, and then we consider an equivalent supermajority rule that depends on the agents in the reduced population only. Our condition applies to the reduced population and it is both necessary and sufficient to guarantee transitive social preferences. Our profile condition is composed out of two distinct properties. The first states that whenever there is an alternative that is preferred to the other two by a sufficient number of individuals then transitivity is guaranteed. The second one discards the possibility of a cycle in the supermajority social preference relation when no alternative is preferred by a qualified majority. Then we extend our result to the case in which individual preferences are weak orders by introducing an equivalent supermajority rule relation on a profile constructed by linear orders only. Then we apply the appropriate balancedness condition to the latter and the generalization of the result trivially follows. In the last chapter we consider a situation when we have to rank a set of individuals when each agent provides an ordered list of the others, representing his opinion about the position of the others. We call the rule that determines the final ranking a social ranking function and we say that it is impartial if a change of a single agent's preference does not influence his rank. Here we construct several ranking functions indicating the result, which we later prove, that there is no impartial social ranking function that is fully Paretian. Accepting this debility, we further introduce several properties and demonstrate that there are impartial ranking functions that satisfy them. At the end, we characterize the impartial ranking functions by the use of three axioms, which we prove that are sufficient and necessary condition for impartiality.