Spaces of bandlimited functions on compact manifolds

Abstract

This monograph is structured in four chapters.

In Chapter 1, we present the context of our problem and the main results proved in this work. We describe the asymptotic behaviour of the reproducing kernel and the construction of new kernels associated to our spaces with a decay away from the diagonal. We shall also explain some tools that will play a fundamental role in the proof of our results.

In Chapter 2, we study the problem of a continuous sampling. The role of a discrete family of sampling is played now by a sequence of sets in the manifold called Logvinenko-Sereda sets. We give a complete geometric characterization. A weaker problem is to find a characterization of the Carleson's measures. This question has been also answered in terms of a geometric condition.

In Chapter 3, we provide some (qualitative) necessary and sufficient conditions for interpolation and sampling. We define an analog of the Beurling-Landau's density and prove a quantitative necessary condition for sampling and interpolation following the scheme of Landau in the context of the Paley-Wiener spaces.

In Chapter 4, we give an application of the density results obtained in Chapter 3 and study the Fekete arrays on compact manifolds with some restriction. Furthermore, we prove from the results of Chapter 3, the equidistribution of the Fekete families on compact manifolds that have a product property (see Definition 4.1 for more details). The results of this monograph are part of the following articles:

- J. Ortega-Cerdà, B. Pridhnani. Carleson measures and Logvinenko-Sereda sets on compact manifolds. Forum Mathematicum, to appear ([OCP11b]).

- J. Ortega-Cerdà, B. Pridhnani. Beurling-Landau's density on compact manifolds. Preprint ([OCP11a]).

En aquesta tesi, estudiem les famílies d'interpolació i sampling (mostreig) en espais de funcions de banda limitada en varietats compactes. Les nocions de sampling i interpolació juguen un rol fonamental en problemes com ara recuperar un senyal continu a travès de les mostres discretes. Aquestes dues nocions són, en part, de caràcter oposat: un conjunt de sampling ha de ser suficientment dens per tal de poder recuperar la informació i, en un conjunt d'interpolació, els punts han de ser suficientment separats per tal de poder trobar una funció que interpola certs valors. A grans trets, una successió de sampling per a un cert espai de funcions és una successió de punts {lambda(n)}(n) tals que la norma de tota funció “f” de l'espai és equivalent a la norma de la successió que resulta d'avaluar la funció en els punts {lambda(n)}(n).

Donada una varietat compacta M de dimensió m>/= 2, considerem el subespai E(L) de L(2)(M) generat per vectors propis del Laplacià de valor propi més petit que L > 0. Aquests espais s'anomenen espais de funcions de banda limitada i són el principal motiu d'estudi de la tesi. Els espais E(L) comparteixen propietats amb els espais clàssics de Paley-Wiener i la tesi explora aquesta connexió.

La tesi s'estructura en quatre capítols.

En el primer capítol, introduïm el context del nostre problema i els resultats principals provats al llarg d'aquesta tesi. També descrivim el comportament asimptòtic del nucli reproductor i la construcció de nous nuclis associats als nostres espais amb un decaïment fora de la diagonal. A més a més, expliquem algunes eines que jugaran un paper fonamental en les proves dels nostres resultats.

En el segon capítol, estudiem el problema del sampling continu. El rol d'una família discreta de sampling el realitza una successió de conjunts en la varietat anomenada successió de Logvinenko-Sereda. Un problema més dèbil és trobar una caracterització de les mesures de Carleson. Aquesta qüestió també s'ha resolt en termes d'una condició geomètrica.

En el tercer capítol, provem algunes condicions (qualitatives) necessàries i suficients per a la interpolació i sampling. Definim l'anàleg a la densitat de Beurling-Landau i provem, seguint les idees de Landau en el context dels espais de Paley-Wiener, condicions quantitatives necessàries per a què una família sigui de sampling o d'interpolació.

En el quart capítol, donem una aplicació dels resultats de densitat obtinguts en el Capítol 3. Estudiem les famíllies de punts de Fekete en varietats compactes amb certa propietat. Els punts de Fekete són punts que maximitzen un determinant del tipus Vandermond que apareix en la fòrmula d'interpolació del polinomi de Lagrange. Són punts adients per les fòrmules d'interpolació i la integració numèrica. Els punts de Fekete tenen la propietat que són casi d'interpolació i sampling. Per tant, aquest tipus de punts estan ben distribuïts en la varietat ja que contenen informació suficient per recuperar la norma L(2) d'una funció de banda limitada i, són suficientment separats per tal d'interpolar alguns valors fixats.

Els resultats d'aquesta tesi són part dels següents articles:

- J. Ortega-Cerdà, B. Pridhnani. Carleson measures and Logvinenko-Sereda sets on compact manifolds. Forum Mathematicum 25, no. 1, p. 151-172, 2011. - J. Ortega-Cerdà, B. Pridhnani. Beurling-Landau's density on compact manifolds. Journal of Functional Analysis 263, no. 7, p. 2102-2140, 2012.