Nous models per a sèries temporals

Abstract

En aquest treball ens plantegem dos tipus de problemes. El primer fa referència a la qüestió de l’estacionalitat en el context de les sèries temporals discretes, mentre que en la segona part es tracten models autoregressius de primer ordre amb innovacions no gaussianes. Les sèries temporals a valors enters apareixen en molts i molt variats contextos. L’anàlisi clàssica de sèries temporals contínues pot resultar poc adequada a l’hora de modelitzar fenòmens basats en recomptes, ja que assumeix normalitat en les variacions aleatòries de la sèrie, premissa que difícilment es compleix en el cas de les sèries de nombres enters. Aquest fet motiva l’estudi de models basats en distribucions discretes (Poisson, binomial negativa, …). Tanmateix, en el context dels models habituals de sèries temporals discretes (INAR, INMA,…) no s’han desenvolupat tècniques suficients per tractar amb possibles comportaments estacionals en les dades, i per tant, calen eines adients per modelitzar fenòmens amb aquesta característica, com per exemple, la incidència de malalties com grip, al·lèrgies, pneumònies… En aquest treball proposem una variació del model INAR(2) per tal d’incloure-hi una component estacional i estudiem com es pot aplicar per analitzar dades relatives a ingressos hospitalaris per grip. Seguint amb el mateix exemple, es plantegen diversos mètodes per realitzar prediccions sobre l’ocupació futura de llits hospitalaris basats en aquest tipus de models de sèries temporals de recomptes, a curt i llarg termini. La segona qüestió que s’aborda en aquest treball apareix com un problema de caracterització de distribucions, en un context de models autoregressius de primer ordre, motivada per un resultat sorprenent de McKenzie que afirma que donat un procés Y t amb estructura AR(1), i considerant la sèrie exponenciada Xt = eY t, la funció d’autocorrelació de Xt és la mateixa que la de la sèrie original Y t si i només si la distribució estacionària de Xt és una gamma. Amb aquest punt de partida, el nostre objectiu principal ha estat generalitzar aquest resultat de McKenzie, en el sentit de caracteritzar la distribució de les innovacions en aquest context, i desenvolupar un contrast de bondat de l’ajust basat en la funció distribució empírica per tal de decidir si és raonable pensar, amb un cert nivell de confiança, que la distribució de les innovacions és una distribució concreta. En particular, aquest contrast es pot utilitzar, en la situació clàssica, per tal de comprovar si les innovacions en un model autoregressiu de primer ordre són gaussianes. Aquest contrast s’ha aplicat en primer lloc sobre les captures de peix a l’oceà Atlàntic i golf del riu St. Lawrence, entre 1990 i 1996 per tal d’estudiar si l’assumpció de normalitat de les innovacions és raonable o no. En segon lloc s’ha realitzat el contrast sobre les dades del deflactor del producte interior brut espanyol des de 1962 fins a 2011. Finalment, es presenta un estudi de la potència del contrast, en diferents situacions, considerant diversos valors per al primer coeficient d’autocorrelació, diferents mides mostrals i diverses distribucions marginals.

In this work we consider two kinds of problems. The first concerns the issue of seasonality in the context of discrete time series, while the second part will deal with first-order autoregressive models with non-Gaussian innovations. Integer valued time series appear in many different contexts. The classical analysis of continuous time series can be inadequate when modeling phenomena based on counts, as the assumption of normal random variations is hardly achieved in the case of integer series. This motivates the study of models based in discrete distributions (Poisson, negative binomial, …). However, in the context of standard models of discrete time series (INAR, INMA, …) there is a lack of techniques focused on dealing with possible seasonal behavior in the data, and therefore there is a need of suitable tools to model phenomena presenting this feature, as, for example, the incidence of diseases such as flu, allergies, pneumonia,… In this work we propose a variation of the INAR(2) model to include a seasonal component, and we study how can it be applied to analyze data concerning hospital admissions caused by influenza. Following the same example, we consider several methods to make predictions about future occupation of hospital beds based on this type of time-series models of counts in the short and long term. The second issue addressed in this work appears as a problem of characterization of distributions in the context of first-order autoregressive models, prompted by a surprising result by McKenzie, establishing that a process Y t with AR(1) structure, and considering the exponentiated series Xt = eYt, the autocorrelation function of Xt is the same as the original series Y t if and only if the stationary distribution of Xt is gamma. Using this result as a starting point, our main goal has been to generalize this result by McKenzie in the sense of characterizing the distribution of the innovations in this context, and develop a goodness of fit test based on the empirical distribution function in order to decide whether it is reasonable to assume, at some level of confidence, that the the innovations follows a specific distribution. In particular, this contrast can be used in the classical situation, in order to check if the innovations of a first-order autoregressive model are Gaussian. This contrast has been applied on a data set concerning fish catches in the Atlantic Ocean and Gulf of St. Lawrence River between 1990 and 1996 to study whether the assumption of normality of the innovations is reasonable or not. As a second example, the contrast has been made on data concerning the deflator of the Spanish gross domestic product from 1962 to 2011. Finally, a study of the power of the test, in different situations is presented, considering different values for the first autocorrelation coeffcient, different sample sizes and different marginal distributions.