Estudi algebraic de certes lògiques intuicionistes modals

Abstract

Cap a començaments de segle la lògica matemàtica veié l'aparició entre d'altres de dos sistemes de lògica que malgrat haver sorgit de forma totalment independent tenien almenys dos trets en comú: uns orígens que podríem situar a les insegures regions frontereres entre la lògica, la matemàtica i la filosofia, i el fet que ambdós sistemes proposaven alternatives al significat i l'ús dels conceptes "afirmar" i "negar" (un enunciat matemàtic o de qualsevol mena). Ens referim a la lògica intuicionista i a la lògica modal.<br/><br/>L'intuicionisme neix enmig de la famosa, "crisi de fonaments" defensant els mètodes constructivistes per a l'activitat matemàtica en general; com a conseqüència hom obté una lògica que no admet la validesa del principi del tercer exclòs ni de les demostracions per reducció a l'absurd, cosa que naturalment duu a modificar el concepte de negació. Al marge de les qüestions filosòfiques suscitades, a partir d'aquí s'ha desenvolupat la lògica intuicionista, que, curiosament, té una sintaxi molt ben establerta , com a subsistema de la lògica clàssica, però en canvi no disposa d'una semàntica "canònica" com ho és l'àlgebra de Boole de dos elements en el cas clàssic.<br/><br/>Així com l'intuicionisme aporta una nova visió, més estricta, de l'activitat específicament matemàtica, la lògica modal actual és el resultat del renaixement i confluència de dues qüestions diverses: una, les teories de la modalitat dels filòsofs grecs i medievals, que estudien diferentes formes d'afirmar o negar un enunciat qualsevol: necessitat, contingència, impossibilitat, etc...; l'altra, els intents de formalitzar la idea de "vinculació" ("entailment") o "implicació estricta", llargament discutida a l'escola megàrico-estoica i que encara avui és objecte de controvèrsia. <br/><br/>L'aparició de treballs purament algebraics sobre les lògiques esmentades va ser precedida per un període de popularització del mètode de les matrius lògiques, duta a terme durant els anys vint i trenta per l'escola polonesa i especialment per J. Lukasiewicz i A. Tarski, i per l'aparició d'algunes relacions entre el càlcul preposicional i la topologia, descobertes per Tarski per a l'intuicionisme, i per T. Tsao-Chen per a la lògica modal a [vo]<br/><br/>En aquest context que acabem de presentar, el nostre treball és un estudi algebraic (en el sentit que té aquest terme quan es parla de lògica algebraica) de tres sistemes de lògica intuicionista modal que anomenem IM4 IM5 i IMC; el primer és un anàleg intuicionista del sistema S4 de Lewis, el segon ho és d'S5 , i el tercer també ho és en cert sentit, però en un altre sentit és un sistema clàssic. Com a "anàleg intuicionista de ...", ens referim al plantejat per Bull, segons el qual, per a poder dir que un determinat sistema "Y" de lògica preposicional és la versió intuicionista de determinat sistema "X" de lògica modal clàssica conegut, cal que es donin dues condicions: a) "Y" ha de ser "intuicionísticament plausible", que vol dir que col.lapsant-hi els operadors modals (és a dir, fent Lp i Mp equivalents a p) el sistema Y ha d'esdevenir el càlcul intuicionista sense més; i b) Y ha de ser anàleg a X en el sentit que si afegim a Y l'axioma p v~/=p.(que és el que li falta, a l'intuicionisme per a esdevenir el càlcul clàssic) hem d'obtenir exactament el sistema X . <br/><br/>Al nostre treball hem intentat en tot moment no perdre'ns en els tecnicismes i mantenir sempre clars els punts de referència que han motivat, orientat o impulsat la nostra recerca; per això hem considerat important intercalar quan ha convingut les referències històriques i metodològiques necessàries per a comprendre el naixement i evolució dels distints conceptes i mètodes que hem utilitzat, així com indicar sempre que ens ha estat possible la paternitat de les definicions no originals i la justificació de la nomenclatura adoptada.<br/><br/>Hem dividit aquesta memòria en sis capítols. El capítol primer estableix els conceptes i propietats generals i la nomenclatura de les àlgebres de Heyting topològiques. El capítol segon defineix els sistemes deductius i en fa un estudi des d'un punt de vista estrictament lògic. El capítol tercer fa un estudi global dels sistemes deductius des d'un punt de vista algebraic i reticular. El capítol quart abandona les "aHt" qualssevol per a ocupar-se principalment de dos tipus concrets: les monàdiques i les semisimples. El capítol quint desenrotlla els tres sistemes IM4, IM5 i IMG de lògica intuicionista modal que d'alguna manera constitueixen una justificació i un objectiu lògic d'aquest treball, i alhora una mostra de l'aplicació a la lògica d'alguns resultats algebraics. <br/><br/>L'objectiu d'aquesta memòria no' és arribar a demostrar un únic teorema o conjectura important, sinó l'estudi de conjunt d'unes lògiques i de les estructures algebraiques associades que no havien estat considerades fins al moment; per aquesta raó hem inclòs un cert nombre de resultats que no tenen altra trascendencia que llur pròpia contribució a aclarir l'estructura interna i les propietats de determinat tipus d'àlgebra o de certs conjunts d'elements, resultats que segons com poden semblar una mica al marge de la línia general del treball. Aquestes insinuacions d'exhaustivitat no s'han de prendre com a pretensió d'haver esgotat el tema. Ben al contrari, com més hi hem aprofundit més possibilitats hi hem descobert; en aquest moment considerem que hem encetat ,una línia de treball que pot donar molt de si i té un ampli futur. Resten encara força problemes oberts a les nostres investigacions, i ens adonem d'altres possibilitats de treball sobre la mateixa temàtica però en línies o sota hipòtesis diferents.