Contribució a l'estudi de les equacions diferencials estocàstiques

Abstract

En aquesta tesi es realitza l'estudi de les propietats de dues equacions diferencials estocàstiques: una en derivades parcials per processos hiparamètrics que convertim en una equació integral estocàstica en el pla, i una difusió amb condició inicial anticipativa. Sobre la primera s'estudia el suport topòlogic de la llei de la solució, s'estableix un principi de grans desviacions quan considerem petites pertorbacions del soroll que governa l'equaciói es demostra l'existència i regulantat de la llei de la solució. L'estudi de l'equació anticipativa es centra en l'existencia i regularitat de la llei de la solució sota hipòtesis de diferents graus de degeneració. Finalment també s'estudia el cas en que l'equació anticipativa està governada per un moviment brownià de dimensió infinita.<br/><br/>El primer capítol està dedicat a estudiar l'equació diferencial estocàstica en derivades parcials (1). Aquesta equació ja va ser estudiada per Farré i Nualart, que van donar sentit a la solució dins la classe de les semimartingales representables. Utilitzant aquesta representació van demostrar l'existència de densitat.<br/><br/>En aquest capítol es presenta una nova visió de la solució de l'equació. Com en altres casos estudiats a la literatura sobre equacions diferencials estocàstiques parabòliques i el.líptiques, ens plantejem la solució a partir del mètode de Riemann per l'equació determinista anàloga a (1). Es considera I'operador diferencial de segon ordre "L" i s'indica la funció de Green associada a aquest operador (2). Es defineix aleshores la solució de l'equació(1), com el procés continu i adaptat que satisfa l'equació integral (3). <br/><br/>Es demostra l'existència i unicitat de la solució de l'equació integral (3). Es comprova que aquesta solució es la solució feble de (1), en el sentit de distribucions, i que coincideix amb la solució proposada per Farré i Nualart.<br/><br/>Utilitzant la representació (3) es demostren diverses propietats del proces solució. Aquests resultats estan basats en un estudi en profunditat de la funció de Green. Aquesta funció no la podem obtenir de manera explícita, però sí a partir d'una série. Es demostren així diverses propietats de la funció de Green, com l'afitació o la derivabilitat respecte "u", "v", "s", "r".<br/><br/>S'estableix pnmer un resultat d'aproximacions de la solució. A partir d'aquest resultat d'aproximacions, utilitzant un mètode desenvolupat per Millet i Sanz basat en l'utilització d'esquelets, obtenim un teorema del suport pel procés solució.<br/><br/>Posteriorment, s'apliquen les eines del calcul de Malliavin per deduir I'existència i regularitat de la llei de X(n), si s-r = 0. Aquest resultat s'obté tant per condicions equivalents a la condició de Hormander restringida com per condicions equivalents a la condició de Hormander no restringida. <br/><br/>Finalment s'estableix un principi de grans desviacions per la familia {X(n), epsilon més gran que 0} de solucions de (3) obtingudes per pertorbacions del soroll blanc. El mètode utilitzat està basat en el principi de quasi-continuitat desenvolupat per Azencott. <br/><br/>En el segon capítol es determinen condicions suficients per l'existència de densitat regular per la llei de probabilitat de la solució de l'equació diferencial estocàstica anticipativa en un instant de temps epsilon > 0 fixat. L'existència i regulantat de la densitat sota condicions semblants ja han estat estudiades anteriorment. <br/><br/>A més, en el segon capitol s'estén aquest últim resultat en les direccions següents. Per una<br/>banda, s'elimina la hipotesi d'afitació sobre la condició inicial. Després s'obté un resultat anàleg amb condicions de Hormander no restringides. Finalment, s'estudien les condicions necessàries per un cas degenerat, sota el punt de vista presentat per Bell i Mohammed, que permet que la hipotesi de Hormander no es satisfaci. de manera controlada, en una col.lecció de superfícies.<br/><br/>Les condicions de Hormander que s'utilitzen es presenten amb una formulació alternativa a la clàssica, fent apareixer la condició inicial "X(n)". S'utilitzen les eines del càlcul de Malliavin, de manera que cal desenvolupar versions del lema de Norris adients, tant pel cas restringit com pel cas no restringit.<br/><br/>El tercer capitol està dedicat a estudiar l'equació anticipativa governada per un moviment brownià de dimensió infinita (4). En aquest capitol es demostra l'existència i regulantat de la densitat a un instant de temps "t" fixat.<br/><br/>El cas no anticipatiu ja va ser estudiat per Minh Duc, Nualart i Sanz. Es demostra pnmer que podem obtenir una solució de l'equació composant el flux associat a (4) amb la condició inicial "X(n)". Després s'estudia la regulantat de la densitat per aquesta solució. El mètode emprat es basa en transferir el resultat conegut per l'equació governada per un moviment brownià de dimensió finit per mitjà d'una convergència apropiada.

<i>In Chapter 1, we study the hyperbolic stochastical partial differential equation (1). We analyze (1) using a new approach, inspired bv Riemann's method for solving the deterministic analogue of (1). using a Green function. The result is expressed as a (2).<br/><br/>We have proved existence and uniqueness of solution to the stochastic equation (2), and we state the equivalence between our approach and the approach presented by Farre and Nualart. We have established a result on approximation of this solution and a suport theorem in Hölder norm for the solution to (1). We apply the tools of Malliavin calculus to deduce the existence and smoothness of density. We also establish a large deviations principle for the family of solutions to (2) obtained by a penurbation of the noise.<br/>In Chapter 2, we obtain sufficient conditions for the existence of a smooth density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation at a fixed time t > 0 , where X(o) is an arbitrary random variable. We extend the results of Caballero, Fernandez and Nualart. We remove the boundedness assumption on "X(n)" and we deal with restricted and unrestricted Hörmander's tvpe conditions.We also study, using the point of view introduced by Bell and Mohammed, a degenerate case where Hörmander's condition is not satisfied.<br/><br/>Finally, in Chapter 3, we obtain sufficient conditions for the smoothness of the density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation driven by an infinite dimensional brownian. </i>