Análisis intrínseco de la estimación puntual

Abstract

Razones de coherencia lógica, en el contexto de modelos estadísticos paramétricos, llevan a considerar como estimadores únicamente aquellos que poseen la propiedad de invarianza funcional. Los estimadores resultan así aplicaciones medibles del espacio muestral en la variedad formada por las medidas de probabilidad. Las nociones clásicas de sesgo y varianza resultan ahora inadecuadas para estudiar las propiedades de un estimador al ser dependientes de la parametrización que se utilice para representar el modelo.<br/><br/>La distancia Riemanniana proporcionada por la métrica informativa (distancia de Rao) aparece como el análogo natural del error cuadrático. La teoría clásica de estimación es reconstruida desde un punto de vista intrínseco (no dependiente de la parametrización y sin introducir funciones de pérdida ajenas al modelo).<br/><br/>Los objetivos de lo que llamamos Análisis Intrínseco son, por un lado, suministrar herramientas invariantes que permitan analizar el comportamiento de un estimador, y por otro obtener resultados análogos a los clásicos y establecer conexiones entre las medidas clásicas no invariantes y las medidas intrínsecas obtenidas.<br/><br/>Útiles clásicos de la geometría diferencial: aplicación exponencial, campos de Jacobi y los teoremas de comparación, son usados para definir y estudiar las nociones de sesgo intrínseco y distancia de Rao cuadrático media de un estimador. Otras nociones geométrico-diferenciales como valor medio de un objeto aleatorio en una variedad equipada con una conexión afín y desarrollo de Taylor invariante han tenido que ser desarrolladas.<br/><br/>En el marco anterior se ha estudiado el comportamiento local y global de un estimador proporcionando cotas del tipo Cramér-Rao donde aparece el efecto de las curvaturas seccionales de la variedad Riemanniana asociada al modelo. En el estudio del comportamiento global de un estimador se ha hecho uso de métodos variacionales.<br/><br/>Se ha estudiado también en qué condiciones la BIackwellización de un estimador produce una mejora del mismo. La noción de completitud ha sido modificada convenientemente para obtener un teorema análogo al clásico teorema de Lehmann- Scheffé. Por último se han estudiado propiedades asintóticas, especialmente en relación con el estimador máximo-verosímil, aplicando los desarrollos de Taylor tensoriales para el estudio de la eficiencia asintótica.

The aim of that we shall refer to as "Intrinsic Analysis" of the statistical estimation, is to develop a statistical estimation theory analogous to the classical one, based on geometrical structures of the statistical models. Then one goal of the Intrinsic Analysis is to supply invariant tools in order to analyse the performance of an estimator, and another is to obtain results that are analogous to classical ones and to establish relationships between the classical non invariant measures and the invariant herein obtained. In this thesis, taking into account the Riemannian structure of the regular parametric statistical models, an intrinsic bias measure is obtained by considering the mean value of random manifold-valued maps. The mean square of the Riemannian, or Rao, distance is the invariant analogous to the mean square error.<br/><br/>The first part of the thesis is concerned with the moments of a random field on an n-dimensional C-infinity real manifold, and also the mean value concept of a random object which takes values on a (Hausdorff and connected) manifold equipped with an affine connection, through the exponential map. We emphasize the analogies and differences between moments and mean values, and we consider, in particular, the Riemannian case.<br/><br/>The second part is the application of these results to the study of some invariant measures analogous to the bias and mean square error corresponding to a statistical estimator. The third and fourth parts are devoted to the development of intrinsic versions of the local and global Cramér-Rao lower bounds. In the fifth part we study the behaviour of the mean square Rao distance of an estimator when it is conditioned by a sufficient statistic, in order to obtain intrinsic versions of the Rao-Blackwell and Lehmann-Scheffée theorems. Finally some asymptotic properties, specially related with the maximum-likelihood estimator, are studied.