Simulació Monte Carlo de sistemes amb acoblament de graus de llibertat

Abstract

Els models microscòpics usuals que es proposen en Mecànica Estadística descriuen, únicament, un tipus de grau de llibertat. Aquests models permeten explicar algunes transicions de fase que es troben en els diagrames de fase de sistemes reals. Ara bé, aquests últims estan constituïts per elements que normalment presenten diferents tipus de graus de llibertat tals com els posicionals, orientacionals, magnètics, conformacionals, etc. L'estudi global de tot un diagrama de fases no pot fer-se mitjançant la simple superposició de models simples ja que, normalment, els diferents tipus de graus de llibertat interfereixen i s'acoblen. Cal, per tant, proposar i resoldre models microscòpics que descriguin la competició entre diferents graus de llibertat.<br/><br/>D'entre d'altres exemples de sistemes amb fenòmens d'acoblament destaquen els aliatges binaris amb àtoms magnètics, els cristalls líquids, els cristalls plàstics, les barreges de líquids moleculars, etc... D'altres fenòmens que també poden englobar-se dins d'aquest marc de l'acoblament són la dependència amb l'ordre atòmic d'algunes transicions estructurals en aliatges binaris i, fins i tot, els sistemes de partícules adsorbides sobre un substrat.<br/><br/>Desde un punt de vista fenomenològic la teoria de Landau amb dos paràmetres d'ordre posa de manifest els principals efectes que es poden donar. Entre d'altres destaquen el desplaçament o desaparició de fases que hom esperaria si no existissin termes d'acoblament, l'existència de fases reentrants, punts tricritics I multicrítics, etc ... D'entre tots els possibles termes d'acoblament entre dos paràmetres d'ordre "x" i "y" a l'energia lliure que hom pot imaginar el més estudiat ha estat l'acoblament biquadràtic x(2)y(2), encara que termes com x(2)y també s'han mostrat útils en alguns casos com per exemple en l'estudi de diagrames de fase de cristalls líquids.<br/><br/>La resolució exacta dels models complexos no pot fer-se analíticament. Els mètodes pertorbatius són adequats quan les energies d'acoblament són petites, però sovint aquest no és el cas. Per això la simulació de Monte CarIo és una eina indispensable per a aquests casos. Els principals problemes que presenta són que únicament podem simular sistemes finits durant un temps relativament curt. L'estudi de les transicions de fase, on el límit termodinàmic és indispensable i les correlacions temporals poden ésser molt llargues, requereix doncs de tècniques especifiques. Els efectes de mida finita es poden reduir mitjançant l'extrapolació a mida infinita a partir de l'estudi de sistemes de diferents mides o mitjançant la teoria del "Finite Size Scaling".<br/><br/>En aquest treball ens hem centrat en tres problemes concrets, relacionats amb l'acoblament de graus de llibertat.<br/><br/>En primer lloc hem proposat un model microscòpic per als cristalls líquids. Es basa en el model "lattice-gas" bidimensional i inclou graus de llibertat orientacionals de les partícules. La seva resolució s' ha fet mitjançant tècniques de camp mitjà i simulació de Monte Carlo. El model reprodueix qualitativament els diagrames de fase experimentals d'algunes barreges de cristalls líquids, així com l'existència d'un punt tricrític en la línea de transició Smèctica-Nemàtica i la variació dels exponents crítics efectius.<br/><br/>Un segon estudi s'ha centrat en el problema dels aliatges binaris amb estructura BCC que tenen una transició estructural cap a una fase més compacta a baixa temperatura. Aquesta transició involucra els graus de llibertat posicionals dels nusos de la zarza BCC que sofreixen l'acció d'una cisalla. Aquests aliatges presenten a temperatures més elevades fenòmens de reordenament dels àtoms en la.xarxa BCC. Aquests fenòmens de tipus difusiu poden estudiar-se prescindint dels detalls exactes de la dinàmica del moviment atòmic, mitjançant un model que inclogui graus de llibertat configuracionals (els nusos d'una xarxa poden ésser A o B). La temperatura a la qual es produeix la transició estructural (normalment de primer ordre) depèn de l'ordre configuracional dels àtoms. Aquesta ordenació pot vari.ar-se, de forma controlada, mitjançant trempes ràpides desde diferents temperatures dins la zona de reordenament atòmic. Mitjançant el mètode de Monte CarIo hem simulat amb un model molt simple els fenòmens de reordenament en un aliatge binari tipus BCC en funció de la temperatura. En particular s'han estudiat les transicions entre estructures D0(3) , B2 i A2. Estudiant com les constants elàstiques de la xarxa depenen de l'ordre configuracional hem pogut justificar qualitativament la dependència de la temperatura de transició estructural amb la temperatura des de la qual es fa la trempa. Hem estudiat també, mitjançant una energia lliure de Landau i un model microscòpic, com l'increment d'entropia de la transició estructural depèn de l'ordre configuracional.<br/><br/>Finalment hem estudiat el problema dels sistemes de partículas adsorbides sobre substrats. Hem proposat un model que separa els graus de llibertat posicionals de les partícules en dos: per un costat uns graus de llibertat discrets tipus "lattice-gas" que descriuen els salts de les partícules d'un pou de potencial ("corrugation potential") a un altre en el substrat i per altre uns graus de llibertat continus que descriuen el moviment de les partícules dins els pous. La simulació Monte CarIo d'aquest model ha permès estudiar la transició de fase sòlid-líquid en aquests sistemes per a diferents valors del "corrugation potential". En el límit de substrat pla els nostres resultats indiquen la presència d'una zona de coexistència entre la fase sòlida i la líquida amb propietats de tipus hexàtic. En el cas de que el "corrugation potential" sigui prou gran els factors d'estructura simulats coincideixen perfectament amb resultats teòrics trobats en la literatura. Ara bé, quan els pous del "corrugation potential" són molt petits es troben discrepàncies ja que les fluctuacions de les partícules són molt grans.

<i>The particles that constitute the real systems have, normally, several degrees of freedom: positional, orientational, conformational, etc. The study of a complete phase diagram cannot be done by the mere superposition of simple models because the different degrees of freedom interfere and coupling phenomena appear. Several examples are: magnetic binary alloys, liquid crystals, etc.<br/><br/>Other systems whose behaviours can also be regarded as the result of coupling are alloys undergoing structural phase transitions and systems of adsorbed molecules on substrates. In this work we have focused our attention in three problems related to coupling between degrees of freedom: (a) First of all we have developed a microscopic model for Liquid Crystals. It is based on a lattice-gas 2-dimensional model that includes orientational degrees of freedom for the molecules. It reproduces qualitatively well the experimental phase diagrams of a number of liquid crystal mixtures, the existence of a tri-critical point in the Smectic-Nematic transition line, and a continuous variation of the effective critical exponents. (b) A second work has been the study of BCC binary alloys that undergo structural phase transitions to packed phases at low temperature, and also exhibit atomic reordering phenomena at higher temperatures. Coupling phenomena between the structural degrees of freedom and the configurational atomic order can appear by means of quenches starting at temperatures in the range where atomic reordering is operative. We have studied how the elastic constants depend on the configurational order and we have justified the dependence of the structural transition temperature upon the starting temperature of the quench. (c) Finally we have studied systems of adsorbed molecules on substrates. We have proposed a model that splits the positional degrees of freedom of the particles: on the one hand it considers variables associated with the jumps of the particles between neighbouring wells of the corrugation potential and on the other hand it considers continuous degrees of freedom associated with the movement of particles inside the wells. Monte Carlo simulation allows the study of the solid-liquid phase transition for different values of the corrugation potential. In the limit of flat substrate our results show a coexisting zone with hexatic properties between the solid and liquid phases. For big enough corrugation potential the simulated structure factors are in agreement with the results of previous theorie s found in the literature. </i>