Lattices over polynomial rings and applications to function fields

Abstract

Esta tesis trata acerca de retículos sobre anillos de polinomios y sus aplicaciones a cuerpos de funciones algebraicas. En la primera parte consideramos la noción de retículos (L,| |) sobre anillos de polinomios, donde L es un módulo finitamente generado sobre k[t], el anillo de polinomios sobre el cuerpo k con la indeterminada t, y | | es una función real de longitud sobre el producto tensorial de L y k(t) sobre k[t]. Una base reducida de (L,| |) es una base de L, cuyos vectores alcanzan los mínimos sucesivos de (L,| |). Desarrollamos un algoritmo que transforma cualquier base de L en una base reducida de (L,| |) para una función real de longitud | | dada. Además generalizamos la teoría de Riemann-Roch para cuerpos de funciones algebraicas al contexto de retículos sobre k[t]. En la segunda parte aplicamos los resultados previos a cuerpos de funciones algebraicas. Para un divisor D de un cuerpo de funciones algebraicas F/k desarrollamos un algoritmo para la computación de su espacio de Riemann-Roch y los mínimos sucesivos asociados al retículo (I,| |), donde I es un ideal fraccional (obtenido por la representación ideal de D) del orden maximal finito O de F y | | es una función de longitud sobre F. Sea K el cuerpo de constantes de F/k. Entonces podemos expresar el género de F en términos de [K : k] e índices de unos órdenes del orden maximal finito e infinito de F. Cuando k es un cuerpo finito, el algoritmo de Montes calcula esos índices como un subproducto. Esto proporciona un método rápido para el cálculo del género de un cuerpo de funciones algebraicas. Nuestro algoritmo no requiere el cálculo de ninguna base, ni del orden maximal finito, ni del infinito. Sea A la localización de k[1/t] en el ideal primo generado por 1/t. El concepto de reducción y la representación OM de ideales primos nos lleva, en este contexto, a un método nuevo para el cálculo de una k[t]-base de un ideal fraccional de O y una A-base de un ideal fraccional del orden maximal infinito de F respectivamente. En la última parte aplicamos nuestros algoritmos a una gran variedad de ejemplos relevantes para ilustrar su eficiencia en comparación con las rutinas clásicas.

This thesis deals with lattices over polynomial rings and its applications to algebraic function fields. In the first part, we consider the notion of lattices (L,| |) over polynomial rings, where L is a finitely generated module over k[t], the polynomial ring over the field k in the indeterminate t, and | | is a real-valued length function on the tensor product of L and k(t) over k[t]. A reduced basis of (L,| |) is a basis of L whose vectors attain the successive minima of (L,| |). We develop an algorithm which transforms any basis of L into a reduced basis of (L,| |), for a given real-valued length function | |. Moreover, we generalize the Riemann-Roch theory for algebraic function fields to the context of lattices over k[t]. In the second part, we apply the previous results to algebraic function fields. For a divisor D of an algebraic function field F/k, we develop an algorithm for the computation of its Riemann-Roch space and the successive minima attached to the lattice (I ,| | ), where I is a fractional ideal (obtained from the ideal representation of D) of the finite maximal order O of F and | | is a certain length function on F. Let K be the full constant field of F/k. Then, we can express the genus g of F in terms of [K : k] and the indices of certain orders of the finite and infinite maximal orders of F. If k is a finite field, the Montes algorithm computes the latter indices as a by-product. This leads us to a fast computation of the genus of global function fields. Our algorithm does not require the computation of any basis, neither of the finite nor the infinite maximal order. Let A be the localization of k[1/t] at the prime ideal generated by 1/t. The concept of reduceness and the OM representations of prime ideals lead us in that context to a new method for the computation of k[t]-bases of fractional ideals of O and A-bases of fractional ideals of the infinite maximal order of F, respectively. In the last part, our algorithms are applied to a large number of relevant examples to illustrate its performance in comparison with the classical routines.