On a Family of Degree 4 Blaschke Products

Abstract

This PhD thesis belongs to the area of discrete dynamical systems in the complex plane, i.e. the iteration of analytic functions in one complex variable. Given a rational map f from the Riemann sphere onto itself, we consider the dynamical system given by its iterates. The Riemann sphere splits into two totally f-invariant subsets: the Fatou set, which is defined to be the set of points z where the family {f^n} is normal in some neighborhood of z, and its complement, the Julia set. The dynamics of the points in the Fatou set are stable in the sense of normality or equicontinuity whereas the dynamics in the Julia set present chaotic behavior. This thesis focuses on the study of the family of Blaschke products Ba(z)=z^3(z-a)/(1-\bar{a}z), where a and z are complex numbers. We study its parameter and its dynamical planes using intensive use of quasiconformal surgery techinques, which allow us to build rational maps with prescribed dynamics using quasiregular maps as models.

The thesis is structured as follows. In Chapter 1 we give an overview on the preliminary results used throughout the thesis. In Chapter 2 we give an introduction to quasiconformal surgery. In Chapter 3 we give an overview of the dynamical plane of the Blaschke products Ba. We begin by studying their basic properties. Afterwards we show that the maps Ba cannot have doubly connected rotation domains (Herman rings) (Proposition 3.2.3) and prove a criterion of connectivity of the Julia set of Ba (Theorem 3.2.1). In Chapter 4 we introduce the family Mb of cubic polynomials with a superattracting fixed point. Then we show how to build polynomials Mb from Blaschke products Ba , obtaining a map Γ from a subset of the parameter plane of the Ba to the parameter plane of the polynomials Mb. We also prove that the map Γ is continuous and restricts to a homeomorphism on every disjoint hyperbolic component. In Chapter 5 we study the parameter plane of the Blaschke products Ba. We first describe the symmetries in the parameter plane. Then we classify the different hyperbolic dynamics which may take place and the sets of parameters for which they may happen. Afterwards we build a polynomial-like map for all non-escaping parameters contained in swapping regions which, under certain conditions, may relate the dynamics of Ba with the one of the antipolynomials pc(z) =\bar{z}^2+c (Theorem 5.3.4). Finally we parametrize all disjoint hyperbolic components whose disjoint cycles are bounded and do not lie on the unit circle (Theorem 5.4.2). In Chapter 6 we study the tongues of the Blaschke products Ba. We first prove some of their topological properties such as their connectivity modulo symmetry, their simple connectivity and the existence of a unique tip for every tongue (Theorem 6.2.1). Then we show how bifurcations take place along curves in a neighborhood of every tongue (Theorem 6.3.2). Finally we study how tongues extend in the annulus of parameters a such that 1<|a|<2. In Chapter 7 we study how the degree 4 Blaschke products Ba generalize to degree m+2 families of rational maps for m>2.

Aquesta tesi doctoral pertany a l’àmbit dels sistemes dinàmics discrets al pla complex, és a dir, la iteració de funcions analítiques en una variable complexa. Donada una funció racional f de l'esfera de Riemann en ella mateixa, considerem el sistema dinàmic donat pels seus iterats. L'esfera de Riemann es divideix en dos conjunts completament invariants per f el conjunt de Fatou, definit com el conjunt de punts z on la família {f^n} és normal en algun entorn de z, i el seu complement, el conjunt de Julià. La dinàmica de les òrbites del conjunt de Fatou és estable en el sentit de normalitat o equicontinuitat mentre que la dinàmica al conjunt de Julià presenta un caràcter caòtic. Aquesta tesi se centra en l'estudi de la família de productes de Blaschke Ba(z)=z^3(z-a)/(1-\bar{a}z), on a i z són nombres complexos. Estudiem el seu pla de paràmetres i el seu pla dinàmic fent us intensiu de les eines de cirurgia quasiconforme, que ens permeten construir funcions racionals amb una dinàmica prescrita fent servir funcions quasiregulars com a models.

Al capítol 1 fem un repàs dels resultats preliminars usats al llarg del text. Primer expliquem els conceptes bàsics de la dinàmica de les funcions racionals. Després fem un repàs de les aplicacions del cercle, tot introduint els conceptes de producte de Blaschke i llengües. Finalment, presentem la fórmula de Riemann-Hurwitz i com s’aplica a la dinàmica de funcions racionals. Al capítol 2 donem una introducció a la cirurgia quasiconforme. Primer de tot definim els conceptes d’aplicació quasiconforme, estructures quasiconformes i “pullback” sota funcions que preserven l’orientació i introduïm el Teorema Mesurable de Riemann. Tot seguit mostrem com els conceptes previs són generalitzats per a funcions que giren l’orientació i veiem com això s’aplica a aplicacions que són simètriques respecte del cercle unitat. Finalment introduïm els conceptes d’aplicació polynomial-like i antipolynomial-like. Al capítol 3 donem una visió general del pla dinàmic dels productes de Blaschke Ba. Comencem estudiant les seves propietats bàsiques. Tot seguit mostrem que les funcions Ba. no poden tenir dominis de rotació doblement connexos (anells de Herman) (Proposició 3.2.3) i provem un criteri de connectivitat del conjunt de Julià dels Ba (Teorema 3.2.1). Al capítol 4 introduïm la família Mb de polinomis cúbics amb un punt fix superatractor. A continuació veiem com construir polinomis Mb a partir de productes de Blaschke Ba, tot obtenint una aplicació Γ que envia un subconjunt de l’espai de paràmetres de Ba a l’espai de paràmetres dels polinomis Mb. També provem que l’aplicació Γ és continua i és un homeomorfisme restringida a cada component hiperbòlica disjunta. Al capítol 5 estudiem l’espai de paràmetres dels productes de Blaschke Ba. Primer de tot en descrivim les simetries. A continuació classifiquem els diferents tipus de comportaments hiperbòlics que es poden donar i veiem a quines regions de l’espai de paràmetres poden aparèixer. Tot seguit construïm una aplicació polynomial-like al voltant de tot paràmetre de no escapament contingut en una regió d’intercanvi que, sota certes condicions, pot relacionar la dinàmica de Ba amb la dels antipolinomis pc(z)=\bar{z}^2+c (Teorema 5.3.4). Finalment parametritzem tota component hiperbòlica disjunta els cicles atractors de la qual són acotats i no rauen al cercle unitat (Teorema 5.4.2). Al capítol 6 estudiem les llengües dels productes de Blaschke Ba. Inicialment provem algunes de les seves propietats topològiques bàsiques com ara la seva connectivitat mòdul simetria, la seva connectivitat simple i l’existència d’una única punta per a cada llengua (Teorema 6.2.1). Tot seguit mostrem com es produeixen les bifurcacions en un entorn de la punta de cada llengua (Teorema 6.3.2). Finalment estudiem com les llengües s’estenen per a paràmetres a tals que 1<|a|< 2. Al capítol 7 estudiem com els productes de Blaschke Ba generalitzen a funcions racionals de grau m+2 per m>2.