Localización, acciones propias y espacios clasificadores de grupos discretos

Abstract

La principal aportación de este trabajo ha sido encontrar un funtor de localización que pasa de modo natural de modelos del espacio clasificador clásico de un grupo discreto G a modelos del espacio clasificador para G-fibrados propios. Más concretamente, hemos obtenido lo siguiente:<br/>Teorema. Si G es un grupo discreto cuya dimensión geométrica propia es finita y P es el funtor de anulación con respecto al wedge de todos los espacios clasificadores de grupos cíclicos de orden primo, se tiene que PBG posee el tipo de homotopía del espacio clasificador para G-fibrados propios B_G.<br/> La prueba tiene esencialmente dos ingredientes: un modelo particular para E_G como construcción de Grothendieck de un funtor sobre una categoría cuyo nervio es un modelo del espacio de órbitas B_G, y la solución de Miller a la conjetura de Sullivan.<br/>El teorema que acabamos de citar ha sido utilizado de tres maneras diferentes en la tesis: primero, lo hemos usado directamente para obtener información sobre la estructura homotópica de B_G; segundo, lo hemos aplicado para traducir propiedades homotópicas de BG y obtener modelos concretos de B_G vía funtores de localización; y tercero, modelos geométricos bien conocidos de B_G nos han permitido calcular la BZ/p-anulación de los espacios clasificadores de algunas familias de grupos discretos.<br/>Nuestro interés en localizaciones de BG para G finito fue originalmente como paso intermedio en la demostración del teorema que acabamos de citar. Si embargo, estas cuestiones pronto adquirieron interés independiente, de modo que procedimos a un estudio más detallado que en particular incluyó a la celularización (que en cierto modo es dual de la anulación). El principal resultado obtenido en este contexto fue el siguiente:<br/>Proposición. Si p es un primo, G un grupo finito y T el subgrupo normal minimal de G que contiene a toda la p-torsión, la BZ/p-anulación PBG está caracterizada por una fibración Y PBG B(G/T), donde Y denota al producto de las q-compleciones de BT para todos los primos diferentes de p.<br/>La demostración se lleva a cabo utilizando técnicas de teoría de homotopía, como cuadrados aritméticos, descomposición homológicas o preservación de fibraciones bajo funtores de localización.<br/>El principal resultado sobre BZ/p-celularización es la clasificación de los grupos finitos tales que su espacio clasificador es BZ/p-celular:<br/>Proposición. Si p es un primo y G es un grupo finito, el espacio clasificador de G es BZ/p-celular si y sólo si G es un p-grupo generado por elementos de orden p.<br/>Nuestro estudio de la BZ/p-celularización de BG es realizado comparando esta construcción con la Z/p-celularización de grupos estudiada a finales de lo noventa por varios autores, y los resultados obtenidos pueden considerarse la extensión de resultados ya conocidos sobre espacios de Moore M(Z/p,1) al caso infinito-dimensional.

The main achievement of our work has been to find a localization functor that passes in a natural way from models of the classical classifying space of a discrete group G to its classifying space for proper G-bundles. More concretely, we have obtained the following:<br/>Theorem. If G is a discrete group whose proper geometrical dimension is finite and P is the nullification with regard to the wedge of the classifying spaces of all primes, then PBG has the homotopy type of the classifying space for proper G-bundles B_G.<br/>The proof has essentially two ingredients: a particular model for E_G as the Grothendieck construction of a functor over a category whose nerve is a model for the orbit space B_G, and the Miller solution to the Sullivan conjecture.<br/>We have used the main theorem in three ways: first, we have used it directly to find information about the homotopy structure of B_G; second, we have applied it to translate homotopical properties of BG to obtain concrete models of B_G via localization functors; and last, well-known geometrical models of B_G have allowed us the computation of the BZ/p-nullification of the classifying spaces of some families of discrete groups.<br/>Our interest on localizations of BG for G finite was originally as an intermediate step in the proof of the theorem we have just quoted. However, these questions soon acquired independent interest, so we made a detailed study, including the cellularization, that is in some dual of the nullification. The main result in this context have been the following:<br/>Proposition. If p is a prime, G is a finite group and T is the minimal normal subgroup of G that contains all the p-torsion, the BZ/p-nullification PBG is characterized by a fibration Y PBG B(G/T), where Y stands for the product of q-completions of BT for all the primes different of p.<br/>The proof is carried out using homotopy techniques, just like arithmetic squares, homological decompositions or preservation of fibrations under localization functors. <br/>The main result about BZ/p-cellularization is a classification of BZ/p-cellular classifying spaces of finite groups:<br/>Proposition. If p is a prime and G is a finite group, the classifying space of G is BZ/p-cellular if and only if G is a p-group generated by order p elements.<br/>We study the BZ/p-cellularization of BG by comparing this construction with the Z/p-cellularization of groups studied in the last nineties by several authors, and our research on this topic can be considered as an extension of work already done on Moore spaces M(Z/p,1) to the infinite-dimensional case.