On the Scale Invariance of certain Complex Systems

Abstract

La Ciència de la Complexitat és un camp d'estudi interdisciplinari que aplica conceptes i mètodes de la física estadística i la teoria dels fenòmens crítics a altres camps, des de la Biologia a l'Economia, la Geologia o la Ciència de l'Esport. Ciència de la Complexitat posa en dubte el reduccionisme científic, afirmant que "el tots és més que la suma de les parts", i que, per tant, el reduccionisme fracassarà tard o d'hora: Si un problema o sistema s'analitza estudiant-ne les unitats que el constitueixen, i aquestes unitats s'estudien, al seu torn, en termes d'altres elements més simples, i així successivament, aleshores s'acaba formant una jerarquia de paradigmes o nivells d'estudi. I si bé el sistema pot entendres, fins a cert grau, en termes de conceptes i mecanismes específics de cada un dels nivells d'estudi, no hi ha cap garantia d'una reconstrucció comprensible i satisfactòria del sistema. En altres paraules, el reduccionisme només ens ofereix un bitllet d'anada dins de la jerarquia de teories, en direcció a aquelles suposadament més bàsiques i elementals; la Ciència de la Complexitat tracta de trobar el camí de tornada, des dels elements microscòpic elementals fins a l'objecte inicial d'estudi. La invariància d'escala es la propietat d'ésser invariant sota una transformació d'escala. Per tant, els objectes invariants d'escala no tenen escales característiques, ja que un re-escalament de les variables no produeix cap efecte detectable. Això es considera molt important en el paradigma de la complexitat, ja que permet connectar el món microscòpic amb el món macroscòpic. Aquesta Tesi consisteix en un estudi de les propietats invariants d'escala de la representació en freqüències de la llei de Zipf en llenguatge, de la corba de creixement "type-token" en sistemes zipfians generals, i de la distribució de durada d'esdeveniments en un "thresholded birth-death process". S'evidencia que algunes propietats d'aquests sistemes poden expressar-se com a lleis d'escala, i per tant són invariants d'escala. Es determinen els exponents d'escala i les funciones d'escala corresponents.

Complexity Science is an interdisciplinary field of study that applies ideas and methods mostly from statistical physics and critical phenomena to a variety of systems in almost any other field, from Biology to Economics, to Geology or even Sports Science. In essence, it attempts to challenge the reductionist approach to scientific inquiry by claiming that "the total is more that the sum of its parts" and that, therefore, reductionism shall ultimately fail: When a problem or system is analyzed by studying its constituent units, and these units are subsequently analyzed in terms of even simpler units, and so on, then a descending hierarchy of realms of study is formed. And while the system might be somewhat understood in terms of different concepts at each different level, from the coarser description down to its most elementary units, there is no guarantee of a successful bottom-up, comprehensive "reconstruction" of the system. Reductionism only provides a way down the hierarchy of theories, i.e., towards those supposedly more basic and elementary; Complexity aims at finding a way back home, that is, from the basic elementary units up to the original object of study. Scale invariance is the property of being invariant under a scale transformation. Thus, scale-invariant systems lack characteristic scales, as rescaling its variables leaves them unchanged. This is considered of importance in Complexity Science, because it provides a bridge between different realms of physics, linking the microscopic world with the macroscopic world. This Thesis studies the scale invariant properties of the frequency-count representation of Zipf's law in natural languages, the type-token growth curve of general Zipf's systems and the distribution of event durations in a thresholded birth-death process. It is shown that some properties of this systems can be expressed as scaling laws, and are therefore scale-invariant. The associated scaling exponents and scaling functions are determined.