Ciclos algebraicos y reducción semiestable

Abstract

En esta memoria se estudian los grupos de Chow de una variedad lisa y proyectiva sobre un cuerpo completo a través del estudio del morfismo ciclo. Concretamente, se construye un morfismo, el llamado morfismo reducción (ver def. 4.2.1), que tiene como dominio los grupos de Chow de la variedad y cuya imagen cae dentro de un cociente del grupo de Chow de la reducción. A diferencia del morfismo ciclo l-ádico, este morfismo tiene la ventaja de no depender del número primo l (lema 4.3.3) y permite describir la imagen del morfismo ciclo l-ádico en el caso de variedades con reducción totalmente degenerada (ver def. 5.2.1 y teo. 5.4.4).<br/>Las ideas principales de fondo que se utilizan en esta memoria son dos: La primera consiste en restringirse a las variedades con reducción estrictamente semiestable (ver def. 3.2.2) y, a partir de combinaciones de los grupos de Chow de las<br/>componentes de la reducción, construir estructuras enteras y operadores sobre ellas de forma que se puedan reconstruir los grupos de Chow de la variedad inicial. La segunda idea consiste en relacionar estos operadores sobre las estructuras enteras con la monodromía asociada a la cohomología de la variedad.<br/>La existencia de una monodromía no trivial es una particularidad de las variedades con reducción totalmente degenerada.<br/>En la prop. 5.6.8 se da la descomposición del operador de monodromía sobre la cohomología de De Rham.<br/>Finalmente, la memoria termina con un capítulo dedicado a la aplicación de la teoría desarrollada para el caso de toros analíticos y producto de curvas de Mumford.

In this memory we study the Chow groups of a smooth and projective variety over a complete field through the study of the cycle morphism. Concretely, we construct a morphism, the so called reduction morphism (see def. 4.2.1), with domain in the Chow's groups of the variety and image into one quotient of the Chow's groups of its reduction. Differently to the l-adic cycle morphism, this morphism does not depend on the prime number l. (lemma 4.3.3) and permits the description of the image of the l-adic cycle morphism for varieties with totally degenerate reduction (see def. 5.2.1 and theorem 5.4.4).<br/>There are two basic ideas in this memory: The first consists in working with varieties with strictly semi-stable reduction (see def. 3.2.2) and from combinations of the Chow's groups of the components of the reduction variety construct Z-structures and operators over them. The second idea consists in the ralationship of this operators over the Z-structures with the monodromy associated to the cohomology of the variety. <br/>The existence of one no-trivial monodromy is a particularity of the varieties with totally degenerate reduction. <br/>Proposition 5.6.8 gives us the descomposition of the monodromy operator over the the Rham cohomology.<br/>Finally, the memory ends with a chapter dedicated to the application of the theory to <br/>the analytic torus and the product of Mumford's curves.