Singular integral operators on sobolev spaces on domains and quasiconformal mappings

Abstract

En aquesta tesi s’obtenen nous resultats sobre l’acotació d’operadors de Calderón-Zygmund en espais de Sobolev en dominis de Rd. En primer lloc es demostra un teorema de tipus T(P) vàlid per a Wn,p(U), a on U és un domini uniforme acotat de Rd, n és un nombre natural arbitrari, i p>d. Essencialment, el resultat obtingut afirma que un operador de Calderón-Zygmund de convolució és acotat en aquest espai si i solament si per a tot polinomi P de grau menor que n restringit al domini, T(P) pertany a Wn,p(U). Per a índexs p menors o iguals que d, es demostra una condició suficient per a l'acotació en termes de mesures de Carleson. En el cas n=1 i p<=d, es comprova que aquesta caracterització en termes de mesures de Carleson és també una condició necessària. El cas en què n és no enter i 0<n<1 també s'estudia, obtenint-se resultats anàlegs als anteriors per una família d'espais més àmplia que Sobolev, els anomenats espais de Triebel-Lizorkin. Una altra de les aportacions de la tesi consisteix en l'obtenció de condicions òptimes per a caracteritzar quan la transformada de Beurling de polinomis restringits a dominis B(P) pertany a l'espai de Sobolev Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla, en termes de la regularitat Besov de la frontera de U. Aquest resultat, en combinació amb els descrits en el paràgraf anterior, proporciona una condició òptima per a poder determinar quan la transformada de Beurling és acotada en Wn,p(U) en termes de la regularitat de la frontera de U per a p>2. La darrera aportació de la tesi és l'aplicació dels resultats anteriorment descrits a l'estudi de la regularitat de l'equació de Beltrami que satisfan les aplicacions quasiconformes. Essencialment, es demostra que si el coeficient de Beltrami pertany a l'espai Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla complex amb parametritzacions de la frontera en un cert espai de Besov i p>2, llavors l'aplicació quasiconforme associada està en l'espai Wn,p(U).

In this dissertation some new results on the boundedness of Calderón-Zygmund operators on Sobolev spaces on domains in Rd. First a T(P)-theorem is obtained which is valid for Wn,p (U), where U is a bounded uniform domain of Rd, n is a given natural number and p>d. Essentially, the result obtained states that a convolution Calderón-Zygmund operator is bounded on this function space if and only if T(P) belongs to Wn,p (U) for every polynomial P of degree smaller than n restricted to the domain. For indices p less or equal than d, a sufficient condition for the boundedness in terms of Carleson measures is obtained. In the particular case of n=1 and p<=d, this Carleson condition is shown to be necessary in fact. The case where n is not integer and 0<n<1 is also studied, and analogous results to the former are obtained for a larger family of function spaces, the so-called Triebel-Lizorkin spaces. The thesis also contains some optimal conditions to establish when the Beurling transform of a polynomial restricted to a domain is contained in the Sobolev space Wn,p(U), where U is a bounded planar Lipschitz domain, in terms of the Besov regularity of the boundary of U. This result, in combination with the results mentioned above, provides an optimal condition to determine wether the Beurling transform is bounded on Wn,p(U) or not in terms of the regularity of the boundary for p>2. Finally, an application of the aforementioned results is given for quasiconformal mappings in the complex plane. In particular, it is checked that the regularity Wn,p(U) of the Beltrami coefficient of a quasiconformal mapping for a bounded Lipschitz domain U with boundary parameterizations in a certain Besov space and p>2, implies that the mapping itself is in Wn+1,p(U).