The simultaneous (strong) metric dimension of graph families

Abstract

En aquesta tesi vam introduir la noció de resolubilitat simultània per a famílies de grafs definides sobre un conjunt de vèrtexs en comú. Els principals resultats de la tesi s'han abordat als generadors i bases mètrics simultanis, així com la dimensió mètrica simultània d'aquestes famílies. Addicionalment, hem tractat dues formes de resolubilitat simultània relacionades. Primerament, vam abordar la dimensió d'adjacència simultània, la qual va demostrar la seva utilitat per caracteritzar la dimensió mètrica simultània de famílies compostes per grafs-producte lexicogràfics i corona. En segon lloc, vam estudiar les propietats principals de la dimensió mètrica forta simultània. En tots els casos, el focus va estar a determinar les cotes generals per a aquests paràmetres, les seves relacions amb els paràmetres de resolubilitat estàndard dels grafs individuals i, quan va ser possible, donar valors exactes o cotes ajustades per certes famílies específiques. Des del punt de vista computacional, el problema encara no es pot considerar resolt per al cas general, ja que vam aconseguir verificar que el requisit de simultaneïtat augmenta la complexitat computacional dels càlculs relacionats amb aquests paràmetres, els quals ja s'havia demostrat que eren NP -difícils. En particular, vam caracteritzar famílies compostes per grafs pels quals alguns paràmetres estàndards de resolubilitat es poden calcular eficientment, mentre que calcular els paràmetres simultanis associats és NP-difícil. Per pal•liar aquest problema, vam proposar diversos mètodes per estimar aproximadament aquests paràmetres i vam realitzar una avaluació experimental per estudiar el seu comportament en col•leccions de famílies de grafs generades aleatòriament.

En esta tesis hemos introducido la noción de resolubilidad simultánea para familias de grafos definidas sobre un conjunto de vértices en común. Los principales resultados de la tesis han abordado los generadores y bases métricos simultáneos, así como la dimensión métrica simultánea de dichas familias. Adicionalmente, hemos tratado dos formas de resolubilidad simultánea relacionadas. Primeramente, abordamos la dimensión de adyacencia simultánea, la cual demostró su utilidad para caracterizar la dimensión métrica simultánea de familias compuestas por grafos-producto lexicográficos y corona. En segundo lugar, estudiamos las propiedades principales de la dimensión métrica fuerte simultánea. En todos los casos, el foco estuvo en determinar las cotas generales para estos parámetros, sus relaciones con los parámetros de resolubilidad estándar de los grafos individuales y, cuando fue posible, dar valores exactos o cotas ajustadas para ciertas familias específicas. Desde el punto de vista computacional, los problemas aún no se pueden considerar resueltos para el caso general, ya que logramos verificar que el requisito de simultaneidad aumenta la complejidad computacional de los cálculos relacionados con estos parámetros, los cuales ya se había demostrado que eran NP-difíciles. En particular, caracterizamos familias compuestas por grafos para los cuales algunos parámetros estándares de resolubilidad se pueden calcular eficientemente, mientras que calcular los parámetros simultáneos asociados es NP-difícil. Para paliar este problema, propusimos varios métodos para estimar aproximadamente estos parámetros y realizamos una evaluación experimental para estudiar su comportamiento en colecciones de familias de grafos generadas aleatoriamente.

In this thesis we have introduced the notion of simultaneous resolvability for graph families defined on a common vertex set. The main results of the thesis have dealt with simultaneous metric generators and bases, as well as the simultaneous metric dimension of such families. Additionally, we have covered two related forms of simultaneous resolvability. Firstly, we treated the simultaneous adjacency dimension, which proved useful for characterizing the simultaneous metric dimension of families composed by lexicographic and corona product graphs. Secondly, we studied the main properties of the simultaneous strong metric dimension. In all cases, our focus was on determining the general bounds for these parameters, their relations to the standard resolvability parameters of the individual graphs and, when possible, giving exact values or sharp bounds for a number of specific families. Computationally, these problems are far from solved for the general case, as we were able to verify that the requirement of simultaneity adds on the complexity of the calculations involving these resolvability parameters, which had already been proven to be NP-hard for their standard counterparts. In particular, we characterized families composed by graphs for which some standard resolvability parameters can be efficiently computed, while computing the associated simultaneous parameters is NP-hard. To alleviate this problem, we proposed several methods for approximately estimating these parameters and conducted an experimental evaluation to study their behaviour on randomly generated collections of graph families.