La Lógica de Gottlob Frege: 1879 – 1903

Abstract

Ofrecemos en esta tesis doctoral una reconstrucción global y detallada de la lógica desarrollada por Gottlob Frege a lo largo de su carrera. A pesar de que esta lógica fue objeto de profundas modificaciones desde su formulación inicial en Begriffsschrift hasta la versión revisada de Grundgesetze, muy raramente se han considerado las diferencias fundamentales que hay entre estas dos obras. No sólo defendemos que estas diferencias existen; además explicamos cómo deben entenderse atendiendo a la evolución del pensamiento de Frege.

En primer lugar, plateamos una reconstrucción de la lógica de Begriffsschrift, de la que resulta una lectura completamente original de su sistema formal; una que contradice la base de los estudios históricos modernos. En particular, defendemos que esta lógica no es, como se ha mencionado en multitud de ocasiones, una lógica de segundo orden y proporcionamos las razones siguientes. (1) El suyo no es propiamente un lenguaje formal. Por ejemplo, no dispone de una definición de la noción de fórmula atómica. La concepción de Frege del uso del sistema formal de Begriffsschrift como una herramienta, y no como su propio objeto de estudio, puede explicar esta omisión. (2) Contra lo que puede parecer, únicamente hay un tipo de cuantificación: la cuantificación sobre argumentos. (3) La lógica de Begriffsschrift no posee una semántica en sentido moderno. Sus letras pueden leerse de tantos modos distintos que no es posible atribuir un significado concreto a las fórmulas en las que aparecen. Además, los cuantificadores no reciben una interpretación semántica: no hay ningún dominio de cuantificación.

En segundo lugar, ofrecemos una explicación de las razones que determinan la evolución de la lógica de Frege. La transición de Begriffsschrift a Grundgesetze ha sido considerada muy raramente y nunca ha sido plenamente explicada. Según nuestro análisis histórico, el paso de la posición de Frege en Begriffsschrift relativa a la lógica a su concepción final, establecida en Grundgesetze, puede articularse mediante la adopción de la distinción entre concepto y objeto como el elemento esencial del sistema formal. Esto conlleva la formalización de la noción de concepto, que finalmente conduce a la noción de función de Grundgesetze.

Finalmente, proporcionamos un análisis global de la lógica de Grundgesetze. En esta obra, Frege desarrolla un sistema formal que es similar a un sistema estándar para la lógica de segundo orden. Presentamos una reconstrucción de este sistema formal que permite compararlo con el de Begriffsschrift. En particular, formulamos con precisión cada regla de inferencia planteada por Frege y prestamos especial atención a las reglas de substitución. Además, a partir de esta reconstrucción obtenemos resultados meta-lógicos como, por ejemplo, la equivalencia entre el fragmento proposicional de Grundgesetze y un cálculo completo para la lógica proposicional, y entre el fragmento de primer orden de Grundgesetze y un cálculo completo para la lógica de primer orden.

In this dissertation I offer a global and detailed reconstruction of the logic developed by Gottlob Frege throughout his career. Even though Frege's logic suffered profound modifications from his initial formulation in Begriffsschrift to its revised version in Grundgesetze, the significant differences between these two works have been rarely taken at face value. I not only argue that these differences exist, but I also explain how they should be understood in the light of the evolution of Frege's thought.

First, I suggest a new reconstruction of Begriffsschrift's logic, which amounts to a completely novel reading of its formal system—one that contradicts the core of modern historical studies. In particular, I defend that this logic is not—as it has been repeatedly said—a second-order logic and provide the following reasons. (1) The language is not properly a formal language. (2) In Begriffsschrift there is only one sort of quantification: quantification over arguments. (3) Begriffsschrift's logic does not have a semantics in the modern sense.

Second, I offer an explanation of the reasons that drive the evolution of Frege's logic. The transition from Begriffsschrift to Grundgesetze has been seldom addressed and never fully explained. According to my historical analysis, the switch from Frege's position concerning logic in Begriffsschrift to his later conception—finally established in Grundgesetze—can be articulated through the adoption of the distinction between concept and object as the basic element of the formal system. This leads to a formalisation of the notion of concept, which in the end drives to Grundgesetze's notion of function.

Finally, I put forward a global analysis of Grundgesetze's logic. In this work, Frege develops a formal system that resembles in many relevant ways a second-order one. I suggest a reconstruction of this formal system that allows us to compare it with Begriffsschrift's. In particular, I formulate precisely every rule of inference proposed by Frege and especially focus on the rules of substitution. Moreover, I reflect on several meta-logical results that can be drawn from this reconstruction.