Variational multiscale stabilization and local preconditioning for compressible flow

Abstract

This thesis is about the stabilization of the numerical solution of the Euler and Navier- Stokes equations of compressible flow. When simulating numerically the flow equations, if no stabilization is added, the solution presents non-physical (but numerical) oscillations. For this reason the stabilization of partial differential equations and of the fluid dynamics equations is of great importance. In the framework of the so-called variational multiscale stabilization, we present here a stabilization method for compressible flow. The method assessment is done first of all on a batch of academical examples for different Mach numbers, for viscous and inviscid, steady and transient flow. Afterwards the method is applied to atmospheric flow simulations. To this end we solve the Euler equations for dry and moist atmospheric flow. In the presence of moisture a set of transport equations for water species should be solved as well. This domain of application is a real challenge from the stabilization point of view because the correct amount of stabilization must be added in order to preserve the physical properties of the atmospheric flow. At this point, in order to even improve our method, we turn towards local preconditioning. Local preconditiong permits to reduce the stiffness problems that present the flow equations and cause a bad and slow convergence to the solution. With this purpose in mind we combine our stabilization method with local preconditioning and present a stabilization method for the preconditioned Navier-Stokes equations of compressible flow, that we call P-VMS. This method is tested over several examples at different Mach numbers and proves a significant improvement not only in the convergence to the solution but also in the accuracy and robustness of the method. Finally, the benefits of P-VMS are theoretically assessed using Fourier stability analysis. As a result of this analysis a modification on the computation of the time step is done even improving the convergence of the method.

Aquesta tesi tracta sobre l'estabilització de la solució numèrica de les equacions d'Euler i Navier-Stokes de flux compressible. Quan es simulen numèricament les equacions que governen els fluids, si no s'afegeix cap estabilització, la solució presenta oscil·lacions no físiques sinó numèriques. Per aquest motiu l'estabilització de les equacions en derivades parcials i de les equacions de la mecànica de fluids és de gran importància. Dins del marc de l'anomenada estabilització de multiescales variacionals, presentem aquí un mètode d'estabilització per flux compressible. L'evaluació del mètode es realitza primer en varis exemples acadèmics per diferents nombres de Mach, per flux viscós, inviscid, estacionari i transitori. Després el mètode s'aplica a simulacions de flux atmosfèric. Per això, resolem les equacions d'Euler per flux atmosfèric sec i humit. En presència d'humitat, també s'ha de resoldre un grup d'equacions de transport d'espècies d'aigua. Aquest domini d'aplicació representa un desafiament des del punt de vista de l'estabilització, donat que s'ha d'afegir la quantitat adequada d'estabilització per tal de preservar les propietats físiques del flux atmosfèric. Arribat aquest punt, per tal de millorar el nostre mètode, ens interessem pels precondicionadors locals. Els precondicionadors locals permeten reduir els problemes de rigidesa que presenten les equacions dels fluids i que són causa d'una pitjor i més lenta convergència cap a la solució. Amb aquest propòsit en ment, combinem el nostre mètode d'estabilització amb els precondicionadors locals i presentem un mètode d'estabilització per les equacions de Navier-Stokes de flux compressible, anomenem aquest màtode P-VMS. Aquest mètode es evaluat per mitjà de varis exemples per diferents nombres de Mach i demostra una millora sustancial no només pel que fa la convergència cap a la solució, sinó també en la precisió i robusteza del mètode. Finalment els beneficis del P-VMS es demostren teòricament a través de l'anàlisi d'estabilitat de Fourier. Com a resultat d'aquest anàlisi, sorgeix una modificació en el càlcul del pas de temps que millora un cop més la convergència del mètode