Study of the algebraic structure of left braces and the yang-baxter equation

Abstract

Aquesta tesi doctoral tracta de l’estructura algebraica anomenada braça no commutativa per l’esquerra, i de les seves aplicacions a les solucions conjuntistes no degenerades de l’equació de Yang-Baxter. Concretament, estudiem els següents problemes: (1) Construïm totes les solucions conjuntistes no-degenerades associades a una braça per l’esquerra no commutativa donada. A més, demostrem que totes les solucions no-degenerades involutives es poden construir a partir de braces per l’esquerra amb una construcció similar. Aquests resultats estan continguts als Capítols 2 i 3. Això redueix el problema de la classificació de solucions conjuntistes no-degenerades de l’equació de Yang-Baxter a la classificació de braces per l’esquerra no commutatives, un problema que tractem d’estudiar a la resta de la tesi. (2) A la Secció 4.1, presentem dos mètodes nous per a construir braces per l’esquerra: extensions de braces per l’esquerra per ideals trivials, i matched product de braces. Aquestes construccions estan basades en les construccions anàlogues en grups. (3) Motivats per les extensions de braces, a la Secció 4.2 construïm la primera família de braces per l’esquerra simples no trivials. Per a aconseguir-ho, fem servir la construcció de matched products que havíem definit prèviament. (4) Responent a una pregunta de Cedó, Jespers i del Río, trobem el primer exemple de p-grup finit que no és grup multiplicatiu d’una braça per l’esquerra. Això demostra que no tot grup finit resoluble és grup multiplicatiu d’una braça per l’esquerra. Aquest resultat es troba a la Secció 4.3. (5) Finalment, classifiquem totes les braces per l’esquerra d’ordre p, p^2 i p^3, on p és un primer. Aquest resultat es troba contingut a la Secció 4.4 i al Capítol 5.

This PhD thesis deals with the algebraic structure called non-commutative left brace, and with its applications for the non-degenerate set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation. Concretely, we study the following problems: (1) We construct all the non-degenerate set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation associated with a fixed non-commutative left brace. Moreover, we prove all the non-degenerate involutive solutions can be obtained from left braces with an analogous construction. These results are contained in Chapters 2 and 3. This reduces the problem of classification of non-degenerate set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation to the classification of non-commutative left braces, a problem that we study for the rest of the memoir. (2) In Section 4.1, we present two new methods to construct new left braces: extensions of left braces by trivial ideals, and matched product of left braces. These constructions are based on the analogous constructions of group theory. (3) Motivated by the extensions of left braces, in Section 4.2 we construct the first family of non-trivial simple left braces. We use the matched product method that we have defined previously to obtain this family. (4) Answering a question of Cedó, Jespers and del Río, we find the first exemple of finite p-group which is not the multiplicative group of any left brace. This proves that not all finite solvable groups are multiplicative groups of left braces. This results is contained in Section 4.3. (5) Finally, we classify all the left braces of order p, p^2 and p^3, where p is a prime. This result is contained in Section 4.4 and Chapter 5.