High dimension and symmetries in quantum information theory

Abstract

En unas palabras, el tema de esta tesis se podría resumir como: fenómenos varios en alta (pero finita) dimensión en teoría cuántica de la información. Dicho esto, sin embargo podemos dar algunos detalles de más. Empezando con la observación que la física cuántica ineludiblemente tiene que tratar con objetos de alta dimensión, se pueden seguir esencialmente dos caminos: o intentar reducir su estudio al de otros que tienen dimensión más baja, o intentar comprender qué tipo de comportamiento universal surge precisamente en este régimen. Aquí no elegimos cuál de estas dos posturas hay que adoptar, sino que oscilamos constantemente entre una y la otra. En la primera parte de este manuscrito (Capítulos 5 y 6), nuestro objetivo es reducir al mínimo posible la complejidad de ciertos procesos cuánticos, preservando sus características esenciales. Los dos tipos de procesos que nos interesan son canales cuánticos y medidas cuánticas. En ambos casos, la complejidad de una transformaci ón se cuantifica con el número de operadores necesarios para describir su acción, y la proximidad entre la transformación de origen y su aproximación se define por el hecho de que, cualquiera que sea el estado de entrada, los respectivos estados de salida deben ser suficientemente similares. Proponemos maneras universales de alcanzar nuestras metas de compresión de canales cuánticos y rarefacción de medidas cuánticas (basadas en construcciones aleatorias) y demostramos su optimalidad. En contrapartida, la segunda parte de este manuscrito (Capítulos 7, 8 y 9) se dedica específicamente al análisis de sistemos cuánticos de alta dimensión y sus rasgos típicos. El énfasis se pone sobre sistemos multipartidos y sus propiedades de entrelazamiento. En resumen, establecemos principalmente lo siguiente: cuando las dimensiones de los espacios subyacentes aumentan, es genérico para estados cuánticos multipartidos ser prácticamente indistinguible mediante observaciones locales, y es genérico para relajaciones de la noción de separabilidad ser burdas aproximaciones de ella. Desde un punto de vista técnico, estos resultados se derivan de estimaciones de promedio para supremosa de procesos gaussianos, combinadas con el fenómeno de concentración de la medida. En la tercera parte de este manuscrito (Capítulos 10 y 11), finalmente volvemos a una filosofía de reducción de dimensionalidad. Pero esta vez, nuestra estrategia es utilizar las simetrías inherentes a cada situación particular que consideramos para derivar una simplificación adecuada. Vinculamos de manera cuantitativa simetría por permutación y independencia, lo que nos permite establecer el comportamiento multiplicativo de varias cuantidades que ocurren en teoría cuántica de la información (funciones de soporte de conjuntos de estados, probabilidad de éxito en juegos multi-jugadores no locales etc.). La principal herramienta técnica que desarrollamos con este fin es un resultado de tipo de Finetti muy adaptable.

S'il fallait résumer le sujet de cette thèse en une expression, cela pourrait être quelque chose comme: phénomènes de grande dimension (mais néanmoins finie) en théorie quantique de l'information. Cela étant dit, essayons toutefois de développer brièvement. La physique quantique a inéluctablement afiaire à des objets de grande dimension. Partant de cette observation, il y a, en gros, deux stratégies qui peuvent être adoptées: ou bien essayer de ramener leur étude à celle de situations de plus petite dimension, ou bien essayer de comprendre quels sont les comportements universels précisément susceptibles d'émerger dans ce régime. Nous ne donnons ici notre préférence à aucune de ces deux attitudes, mais au contraire oscillons constamment entre l'une et l'autre. Notre but dans la première partie de ce manuscrit (Chapitres 5 et 6) est de réduire autant que possible la complexité de certains processus quantiques, tout en préservant, évidemment, leurs caractéristiques essentielles. Les deux types de processus auxquels nous nous intéressons sont les canaux quantiques et les mesures quantiques. Dans les deux cas, la complexité d'une transformation est mesurée par le nombre d'opérateurs nécessaires pour décrire son action, tandis que la proximité entre la transformation d'origine et son approximation est définie par le fait que, quel que soit l'état d'entrée, les deux états de sortie doivent être proches l'un de l'autre. Nous proposons des solutions universelles (basées sur des constructions aléatoires) à ces problèmes de compression de canaux quantiques et d'amenuisement de mesures quantiques, et nous prouvons leur optimalité. La deuxième partie de ce manuscrit (Chapitres 7, 8 et 9) est, au contraire, spécifiquement dédiée à l'analyse de systèmes quantiques de grande dimension et certains de leurs traits typiques. L'accent est mis sur les systèmes multi-partites et leurs propriétés ayant un lien avec l'intrication. Les principaux résultats auxquels nous aboutissons peuvent se résumer de la façon suivante: lorsque les dimensions des espaces sous-jacents augmentent, il est générique pour les états quantiques multi-partites d'être à peine distinguables par des observateurs locaux, et il est générique pour les relaxations de la notion de séparabilité d'en être des approximations très grossières. Sur le plan technique, ces assertions sont établies grâce à des estimations moyennes de suprema de processus gaussiens, combinées avec le phénomène de concentration de la mesure. Dans la troisième partie de ce manuscrit (Chapitres 10 et 11), nous revenons pour finir à notre état d'esprit de réduction de dimensionnalité. Cette fois pourtant, la stratégie est plutôt: pour chaque situation donnée, tenter d'utiliser au maximum les symétries qui lui sont inhérentes afin d'obtenir une simplification qui lui soit propre. En reliant de manière quantitative symétrie par permutation et indépendance, nous nous retrouvons en mesure de montrer le comportement multiplicatif de plusieurs quantités apparaissant en théorie quantique de l'information (fonctions de support d'ensembles d'états, probabilités de succès dans des jeux multi-joueurs non locaux etc.). L'outil principal que nous développons dans cette optique est un résultat de type de Finetti particulièrement malléable.

If a one-phrase summary of the subject of this thesis were required, it would be something like: miscellaneous large (but finite) dimensional phenomena in quantum information theory. That said, it could nonetheless be helpful to briefly elaborate. Starting from the observation that quantum physics unavoidably has to deal with high dimensional objects, basically two routes can be taken: either try and reduce their study to that of lower dimensional ones, or try and understand what kind of universal properties might precisely emerge in this regime. We actually do not choose which of these two attitudes to follow here, and rather oscillate between one and the other. In the first part of this manuscript, our aim is to reduce as much as possible the complexity of certain quantum processes, while of course still preserving their essential characteristics. The two types of processes we are interested in are quantum channels and quantum measurements. In both cases, complexity of a transformation is measured by the number of operators needed to describe its action, and proximity of the approximating transformation towards the original one is defined in terms of closeness between the two outputs, whatever the input. We propose universal ways of achieving our quantum channel compression and quantum measurement sparsification goals (based on random constructions) and prove their optimality. Oppositely, the second part of this manuscript is specifically dedicated to the analysis of high dimensional quantum systems and some of their typical features. Stress is put on multipartite systems and on entanglement-related properties of theirs. We essentially establish the following: as the dimensions of the underlying spaces grow, being barely distinguishable by local observers is a generic trait of multipartite quantum states, and being very rough approximations of separability itself is a generic trait of separability relaxations. On the technical side, these statements stem mainly from average estimates for suprema of Gaussian processes, combined with the concentration of measure phenomenon. In the third part of this manuscript, we eventually come back to a more dimensionality reduction state of mind. This time though, the strategy is to make use of the symmetries inherent to each particular situation we are looking at in order to derive a problem-dependent simplification. By quantitatively relating permutation-symmetry and independence, we are able to show the multiplicative behaviour of several quantities showing up in quantum information theory (such as support functions of sets of states, winning probabilities in multi-player non-local games etc.). The main tool we develop for that purpose is an adaptable de Finetti type result.