Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de resolución de problemas. El rol del conocimiento del profesor

Abstract

Este trabajo constituye una aportación a la investigación en Educación Matemática enmarcada en el conocimiento profesional del profesor de matemáticas. En él estudiamos cómo los profesores usan su conocimiento para ayudar a los alumnos a aprender álgebra a través de la resolución de problemas y cómo la reflexión en grupo y el trabajo en equipo ayudan a los profesores en su formación permanente.

Para profundizar en estas ideas, planteamos tres objetivos de logros consecutivos. En primer lugar, diseñamos un conjunto de secuencias de tareas adecuadas para el aprendizaje del lenguaje algebraico a través de la resolución de problemas, implicando en su diseño a todos los profesores que participan en el estudio. Durante la primera fase partimos de unas dimensiones del álgebra escolar que nos permiten formular su aprendizaje en términos de competencia y caracterizar las tareas que ayudan a los alumnos a aprender a usar este lenguaje. En consecuencia, determinamos que el álgebra escolar es el lenguaje necesario para generalizar, formalizar, estudiar estructuras abstractas, expresar relaciones entre variables y modelizar.

El segundo objetivo consiste en analizar cómo un grupo de cuatro profesores de 2º de ESO utiliza su conocimiento al implementar en sus aulas una misma secuencia didáctica. Para analizar la práctica docente utilizamos el Knowledge Quartet, una herramienta de análisis que nos ayuda a identificar cómo el profesor muestra el conocimiento en el aula a través de un conjunto de códigos contributivos que en su mayoría se identifican con acciones que realiza el profesor. Estos códigos, a su vez, están clasificados en cuatro dimensiones: fundamentos, transformación, conexión y contingencia. A partir del análisis concluimos que los profesores utilizan de forma natural y habitual conexiones entre diferentes representaciones de un mismo concepto u objeto matemático para dotar de significado a los símbolos algebraicos. Por eso hemos incorporado al Knowledge Quartet un código contributivo inédito al que hemos llamado "conexiones entre representaciones".

Finalmente, el tercer objetivo consiste en identificar las características inherentes en la dinámica de trabajo en equipo que este grupo de profesores utiliza para diseñar tareas, implementarlas en el aula y reflexionar sobre su práctica docente. Se desprende de ello, de la misma forma que ocurre con los alumnos, que los profesores interiorizan más significativamente el conocimiento cuando este se adquiere vivencialmente. Son ejemplo de ello la toma de consciencia sobre la importancia de explicitar en el aula la conexión entre representaciones que manifiesta una de las profesoras que participó del estudio, o la interiorización de la destreza heurística "hacer una tabla de valores" para resolver un problema. En definitiva, en este trabajo de tesis mostramos cómo la interacción entre profesores, el trabajo en equipo y la planificación pueden contribuir a mejorar la enseñanza de las matemáticas, que es el fin último de la investigación en el área.

This thesis is a contribution to the research in mathematical education within the frame of the mathematics teachers' professional knowledge. In it, we study how teachers use their knowledge to help students to learn algebra via the resolution of problems and how group reflections and team work help teachers in their constant development.

To delve deeper into these ideas, we set three objectives. Firstly, we design a set of sequences of tasks appropriate for learning algebraic language through problem solving, with all the teachers involved in this investigation participating in its design. During this first phase, we determine some dimensions of school algebra which allow us to formulate their learning in terms of competence and characterize the tasks that help students to learn this language. We have determined that school algebra will be the required language in order to generalize, formalize, study abstract structures and express relations and models.

The second objective consists in analyzing how a group of four teachers in 2º ESO use their knowledge when they implement in class the same didactic sequence. To analyze the teaching in practice, we have used the Knowledge Quartet, an analytical tool that helps us identify how the teacher shows knowledge in class through a set of contributive codes which are mainly identified with actions realized by the teacher. These codes are classified in four dimensions: Foundations, Transformation, Connexions and Contingency. From the analysis we conclude that teachers use naturally and regularly connexions between different representations of the same concept or mathematical object to give meaning to algebraic symbols. This is why we incorporate to the knowledge quartet a new contributive code which we have called “connexions between representations”.

Finally, the third objective consists in identifying the inherent characteristics of the working dynamics that teachers use in designing tasks, implementing them in class and reflecting on their teaching. We learn that, similar to how students learn, teachers internalize knowledge more meaningfully when it is acquired by living the process. Examples of this are the realization of the importance of making explicit in class the connection between representations as manifested by one of the teachers in the study, or the internalization of heuristics skills “making a table of values” to solve a problem. In conclusion, in this thesis we show how the interaction between teachers, team work and planning can contribute to an improvement in mathematics teaching, which is the ultimate goal of research in this area.