Two-dimensional modeling and inversion of the controlled-source electromagnetic and magnetotelluric methods using finite elements and full-space PDE-constrained optimization strategies

Abstract

The controlled-source electromagnetics (CSEM) and magnetotellurics (MT) methods are common geophysical tools for imaging the Earth's electrical interior. To appreciate measured data, both methods require forward and inverse modeling of the subsurface with the ultimate goal of finding a feasible model for which the simulated data reasonably fits the observations. The goodness of this fit depends on the error in the measured data, on the numerical error and on the degree of approximation inferred by numerical modeling. Therefore, active research focuses on new methods for modeling and inversion to improve accuracy and reliability for increasingly complex scenarios. In a first step, physical factors such as anisotropy, topography and realistic sources must be taking into account. Second, numerical methods need to be assessed in terms of solution accuracy, time efficiency and memory demand. The finite elements (FE) methods offer much flexibility in model geometry and contain quality control mechanisms for the solution, as shape function order and adaptive mesh refinement. Most emerging modeling programs are based on FE, however, inversion programs are generally based on finite differences (FD) or integral equation (IE) methods. On the other hand, inverse modeling is usually based on gradient methods and formulated in the reduced-space, where the electrical conductivity is the only optimization variable. Originally, the inverse problem is stated for the EM fields and the conductivity parameter (in the full-space), and constrained by governing partial differential equations (PDEs). The reduced-space strategy eliminates the field variables by applying equality constraints and solves then, the unconstrained problem. A common drawback of this is the repeated costly computation of the forward solution. Solving the PDE-constrained optimization problem directly, in the full-space, has the advantage that it is only necessary to exactly solve the PDEs at the end of the optimization, but it comes at the cost of a larger number of variables.

This thesis develops a robust and versatile adaptive unstructured mesh FE program to model the total field for two-dimensional (2-D) anisotropic CSEM and MT data, allowing for arbitrarily oriented, three-dimensional (3-D) sources, for which a two-and-a-half-dimensional (2.5-D) approximation is employed. The formulations of the problems in a FE framework are derived for isotropic and anisotropic subsurface conductivity structures. The accuracy of the solution is controlled and improved by a goal-oriented adaptive mesh refinement algorithm. Exhaustive numerical experiments validate the adaptive FE program for both CSEM and MT methods and on land and marine environments. The influence of the model dimensions, mesh design and order of shape functions on the solution accuracy is studied and notably, an outperformance of quadratic shape functions is found (compared to linear and cubic). Several examples demonstrate the effect of complex scenarios on EM data. In particular, we study the distortion caused by: the bathymetry, the orientation and geometry of the sources and the anisotropy, considering vertical and dipping cases. All examples showcase the importance of adequate consideration of these very common physical features of real world data. Further, a formulation for the 2.5-D CSEM inversion as a PDE-constrained optimization in full-space is derived within a FE framework following two strategies: discretize-optimize and optimize-discretize. The discretize-optimize formulation is implemented using a general purpose optimization algorithm. Two examples, a canonical reservoir model and a more realistic marine model with topography, demonstrate the performance of this inversion scheme, recovering in both cases the model’s main structures within an acceptable data misfit. Finally, the optimize-discretize formulation is derived in a FE framework, as a first step towards a development of an inversion scheme using adaptive FE meshes.

[cat] El mètode de font electromagnètica controlada (CSEM) i el mètode magnetotel.lúric (MT) són tècniques geofísiques usades habitualment per obtenir una imatge de les propietats elèctriques del subsòl terrestre i s'utilitzen independentment, conjuntament i en combinació amb altres tècniques geofísiques. Per poder interpretar les dades, ambdós mètodes necessiten la modelització directa i inversa de la conductivitat elèctrica del subsòl amb l'objectiu final d'obtenir un model coherent per al qual les dades simulades s'ajustin de forma raonable a les observacions. Naturalment, la qualitat d'aquest ajust no només depèn de l'error en les dades mesurades i de l'error numèric, sinó també del grau en l'aproximació física inferit per la modelització numèrica. D'aquesta manera, les recerques actuals se centren a investigar noves metodologies per a la modelització i inversió, per tal d'obtenir models acurats i fiables de les estructures de la Terra en escenaris cada cop més complexos.

Un primer pas és millorar les aproximacions en la modelització tenint en compte factors físics com ara l'anisotropia, la topografia o fonts més realistes. En segon lloc, per tal d'acomodar aquests factors en un programa de modelització i inversió i per poder tractar els conjunts de dades típicament llargs, els mètodes numèrics han de ser avaluats en termes de la precisió de la solució, l'eficiència en temps i la demanda en memòria. Els mètodes de modelització en elements finits (FE) són coneguts per oferir una major flexibilitat en la modelització de la geometria i contenen mecanismes de control de la solució, com ara l'ordre de les funcions forma i la tècnica de refinament adaptatiu de la malla. La majoria de programes de modelització emergents estan basats en els FE, i mostren avantatges significatius, però gairebé tots els programes de modelització inversa, encara avui dia, estan basats en el mètode de les diferències finites (FD) o en el mètode de l'equació integral (IE).

A més a més, la modelització inversa desenvolupada per a dades electromagnètiques (EM) es basa generalment en mètodes del gradient i es formula en un espai reduït, on les úniques variables d'optimització són els paràmetres del model, és a dir, la conductivitat elèctrica del subsòl. Originalment, el problema invers es formula per als camps EM i per al paràmetre conductivitat, i està constret per les equacions diferencials en derivades parcials (PDEs) que governen les variables camps EM. L'estratègia d'espai reduït elimina les variables camps aplicant lligams d'igualtat i soluciona, doncs, el problema no constret en l'espai reduït dels paràmetres del model. Un desavantatge general d'aquests mètodes és la costosa repetició del càlcul de la solució del problema directe i de la matriu jacobiana de sensibilitats (per mètodes basats en Newton). D'altra banda, també és possible de solucionar el problema invers en l'espai complet de les variables camps EM i del paràmetre conductivitat. Solucionar-hi el problema d'optimització constret per les PDEs té l'avantatge que només és necessari de solucionar exactament el problema directe al final del procés d'optimització, però això comporta el cost addicional de tenir moltes més variables d'optimització i de la presència de lligams d'igualtat. També, en particular, en el marc dels FE, el problema d'optimització constret per les PDEs té l'avantatge afegit d'incloure tècniques sofisticades pròpies dels FE en el procés d'inversió, com ara el refinament adaptatiu de la malla.

Aquesta tesi desenvolupa un programa robust i versàtil amb FE i malles irregulars adaptatives per modelar numèricament el camp total de dades CSEM i MT bidimensionals (2D) i anisòtropes, que permet l'ús de fonts tridimensionals (3D) orientades arbitràriament. Per tal de representar fonts CSEM 3D en un model físic 2D, s'utilitza una aproximació dos i mig dimensional (2.5D). Les formulacions FE es deriven per a ambdós mètodes, per a estructures de conductivitat del subsòl isòtropes i anisòtropes. Encara que el cas anisòtrop no és general, inclou anisotropia vertical i de cabussament. La precisió en la solució es controla i millora amb un algoritme de refinament adaptatiu de la malla utilitzant mètodes d'estimació de l'error a posteriori.

Una sèrie exhaustiva d'experiments numèrics valida el programa de FE adaptatius per ambdós mètodes, CSEM i MT, i en escenaris terrestres i marins. S'estudia la influència de les dimensions del model, del disseny de la malla i de l'ordre de les funcions forma en l'exactitud de la solució i es troba un comportament notablement superior de les funcions forma quadràtiques comparades amb les lineals o cúbiques. Diferents exemples mostren l'efecte d'escenaris complexos sobre les dades EM, en particular, un model amb batimetria, un model terrestre i un de marí amb fonts orientades i de dimensió finita, un medi amb anisotropia vertical amb un reservori encastat i un altre amb un reservori encastat en una estructura anticlinal. Aquests exemples demostren la importància de considerar adequadament (en termes de modelització directa) característiques físiques com la topografia, l'orientació i geometria de la font i l'anisotropia del medi, que sovint es troben en mesures reals.

Juntament amb això, es deriva una formulació per al problema invers 2.5D CSEM com una optimització constreta per les PDEs en l'espai complet i en un marc de FE, seguint dues estratègies diferents: discretització-optimització i optimització-discretització. L'estratègia de discretització-optimització considera que el problema invers es troba en forma discretitzada i deriva les condicions d'optimitat de la Lagrangiana i el pas de Newton. Contràriament, l'aproximació optimització-discretització deriva primer les condicions d'optimitat i el pas de Newton o una aproximació d'aquest, i després discretitza les equacions resultants. La implementació de la formulació discretització-optimització es mostra en dos exemples, un model canònic de reservori i un model marí més realista amb topografia, utilitzant un programa d'optimització de propòsit general, que és una implementació d'un algoritme de programació quadràtica seqüencial (SQP). Encara que no s'utilitza una regularització explícita, l'ús de diferents malles per al paràmetre del model i per a les variables camps, permet recuperar les principals estructures del model i obtenir un ajust de les dades acceptable. Cal dir, però, que l'eficiència en temps i memòria del programa hauria de millorar-se.

Finalment, el problema invers 2.5D CSEM es formula com un problema d'optimització constret per les PDEs en l'espai complet i en un marc de FE utilitzant una estratègia d'optimització-discretització i com un primer pas per al desenvolupament d'un esquema d'inversió que utilitzi malles adaptatives de FE.