Photonic systems with multiple delay times: synchronization, square-ware switching and state-dependent delay

Abstract

Aquesta tesi doctoral se centra en l’estudi teòric i numèric de sistemes fotònics amb retroacció i múltiples línies de retard, en el límit en el que els temps de retard són molt més grans que les escales de temps intrínseques del sistema. Es consideren dos sistemes òptics amb retroacció: i) dos oscilıladors optoelèctronics (OEOs) acoblats mútuament amb retard i ii) un làser de semiconductor amb retard que depèn de l’estat mitjançant el filtrat freqüencial des de dues cavitats amb diferents longituds i freqüències centrals. Tot i que els dos sistemes tenen en comú la presència de múltiples línies de retard, es tracta de dos sistemes ben diferents. En el primer, intevenen en tot moment dos temps de retard. En el segon, en canvi, la llum pren una única línia de retard a cada moment; en aquest sistema, el valor del retard és seleccionat intrínsicament per l’estat del sistema d’entre dos valors diferents mitjançant el filtrat freqüencial de la llum des de dos filtres de diferents freqüències centrals colılocats en dues cavitats de diferent longitud. D’una banda, es modelitzen aquests sistemes i es desenvolupen mètodes analítics per trobar solucions aproximades. Aquests mètodes es podrien emprar per entendre la dinàmica d’altres sistemes amb retard. D’altra banda, es comparen els resultats analítics o experimentals amb simulacions numèriques. La tesi està dividida en quatre parts. Les parts I, II i IV contenen diversos capítols, mentre que la part III està formada per un únic capítol. La part I, Introducció, objectius, eines i resultats anteriors , està dividida en tres capítols: En el Capítol 1, primer s’introdueixen alguns exemples de sistemes en els quals la presència de retards determina les propietats dinàmiques del sistema i en alguns casos origina un comportament complex. A continuació, s’introdueix el problema genèric d’un sistema amb retard i la seva modelització mitjançant equacions diferencials amb retard. S’expliquen dos exemples en detall, incloent la seva modelització amb equacions diferencials amb retard. Més endavant, s’introdueixen les ones quadrades que es poden obtenir amb sistemes d’OEOs i altres sistemes amb retard, i es presenten algunes aplicacions de les solucions tipus ona quadrada obtingudes amb OEOs, com són el control del període o la codificació d’informació. Finalment es resumeixen els objectius de la tesi. En el Capítol 2, es presenten alguns mètodes analítics i numèrics emprats en aquesta tesi, com són el mètode d’estabilitat lineal, l’estudi de l’estabilitat de solucions periòdiques, i algoritmes per integrar numèricament equacions diferencials amb retard. El Capítol 3 està dedicat a l’estudi de la dinàmica de sistemes senzills en els quals els sistemes d’estudi d’aquesta tesi estan basats: un oscilılador optoelectrònic i un làser de semiconductor amb retroacció òptica. En cada cas, es descriu el sistema en detall, s’introdueix la seva modelització mitjançant equacions diferencials amb retard, i es presenten els diferents tipus de dinàmica i possibles aplicacions. La part II està dedicada a la Sincronització en oscil·ladors optoelectrònics mú- tuament acoblats amb retard i conté quatre capítols: En el Capítol 4, es descriu el sistema de dos OEOs mútuament acoblats i amb dos temps de retard diferents, el de la retroacció i el de l’acoblament. Primer s’obtenen les equacions dinàmiques del sistema. A continuació, s’escriuen les equacions dinàmiques de manera adimensional i es troba l’estat estacionari estàtic (punt fix) del sistema. Per acabar, s’introdueix el cas d’OEOs idèntics, se simplifiquen les equacions dinàmiques i es demostra l’existència de solucions periòdiques sincronitzades en fase i en antifase a partir de l’anàlisi d’estabilitat lineal de la solució zero. El Capítol 5 se centra en la generació de solucions periòdiques quadrades mitjançant el sistema de dos OEOs idèntics mútuament acoblats descrit en el capítol 4, en el cas de retroacció negativa, la qual tendeix a reduir l’efecte de les pertorbacions de l’estat estacionari estàtic. Primer s’aplica el mètode d’estabilitat lineal per trobar el període de les solucions oscilılants en funció de la relació entre els dos temps de retard diferents. Es demostra la coexistència de múltiples solucions periòdiques de tipus ona quadrada sincronitzades en fase quan la raó entre el temps de retard intrínsec i el de l’acoblament satisfà una relació racional entre dos nombres senars. De manera similar, múltiples ones quadrades en antifase i amb diferents períodes poden coexistir quan la raó entre el temps de retard intrínsec i el de l’acoblament és un racional senar/parell. A continuació, s’apliquen mètodes assimptòtics per obtenir mapes per a l’amplada de les solucions. Es demostra que les solucions periòdiques quadrades experimenten una ruta al caos del tipus doblament de període. Després s’analitza l’efecte de canviar lleugerament els paràmetres en la forma de les solucions. Finalment, a partir del càlcul precís del període de les solucions, s’observa un fenomen de divisió del període en diferents valors. El Capítol 6 està dedicat a l’aparició de solucions quadrades estables amb el mateix model que en el Capítol 5, però en el cas de retroacció positiva, la qual tendeix a augmentar l’efecte de les pertorbacions de l’estat estacionari estàtic. Les solucions quadrades que apareixen amb retroacció positiva tenen un cicle asimètric i són més flexibles i robustes que les que s’obtenen amb retroacció negativa; en concret, l’asimetria del seu cicle permet que puguin adaptar la seva forma com a resposta a canvis en els valors dels paràmetres. Primer s’aplica l’anàlisi d’estabilitat lineal de l’estat estacionari estàtic per obtenir el període de les ones quadrades de freqüència més gran en funció de la relació entre els dos temps de retard diferents. Es demostra que el sistema té solucions sincronitzades en fase i en antifase, i que múltiples solucions poden coexistir, de manera similar al cas de retroacció negativa. No obstant això, a diferència del cas de retroacció negativa, aquí les solucions en antifase sempre coexisteixen amb solucions en fase amb diferents períodes. A més, aquest sistema té solucions periòdiques de freqüència més baixa, sincronitzades en fase i que coexisteixen amb les ones quadrades de freqüència alta per als mateixos valors dels paràmetres. A continuació, s’aplica un mètode assimptòtic per caracteritzar l’amplitud i la forma de les ones quadrades. Es demostra que el cicle de les solucions quadrades generades amb retroacció positiva es pot controlar canviant el voltatge constant aplicat als OEOs, sense que canviï el període. També s’analitza l’efecte de canviar lleugerament els valors dels paràmetres en la forma de les solucions. Es demostra que les ones quadrades generades amb retroacció positiva són més robustes a canvis en els valors dels paràmetres. Finalment, a partir del càlcul precís del període de les solucions, s’observa un fenomen de divisió del període en diferents valors. En el Capítol 7, s’estudia el cas de dos oscilıladors no-idèntics, incloent les possibilitats de retroacció negativa, positiva i mixta. Es demostra que aquest sistema pot generar múltiples solucions de tipus ona quadrada, amb diferents tipus de sincronització (en fase, en antifase i a un quart del període) depenent del signe de la retroacció de cada oscilılador. Les ones quadrades amb sincronització a un quart del període apareixen principalment quan la retroacció és negativa per a un oscilılador i positiva per a l’altre. Finalment, s’analitza la robustesa de les solucions sincronitzades a un quart del període a petits canvis en els valors dels paràmetres. La part III se centra en el tema Sistemes fotònics amb retards que depenen de l'estat i està formada per un capítol: En el Capítol 8, es considera un sistema de làser de semiconductor amb filtrat freqüencial des de dues cavitats de longituds i freqüències centrals diferents, com a model per a estudiar la dinàmica d’un sistema amb retard que depèn de l’estat. Primer s’introdueix el disseny experimental, que està basat en un làser de semiconductor i dos filtres de Bragg amb diferents freqüències centrals colılocats en dues cavitats de diferents longituds, i per tant associats a dos temps de retard diferents. Es demostra que la dinàmica d’aquest sistema es caracteritza per salts erràtics entre els dos valors del temps de retard. A continuació, s’introdueix un model teòric amb filtrat lorentzià des de dues cavitats diferents. Es calculen les solucions estacionàries i s’analitza la dinàmica erràtica amb retard que depèn de l’estat per a diferents valors dels paràmetres. Es demostra que els resultats numèrics en el règim erràtic coincideixen qualitativament amb els experiments. També es demostra que aquest sistema té solucions més regulars, similars a les ones quadrades periòdiques, amb retard que depèn de l’estat. Finalment, s’analitza l’estadística dels temps de residència durant els quals el retard pren un valor constant. La part IV, Resum i perspectives de treball, conté dos capítols de conclusions: el Capítol 9, corresponent a la part dels OEOs; i el Capítol 10, referit a la part dels retards depenents de l’estat. En aquests capítols es resumeixen els principals resultats obtinguts i es proposen algunes perspectives per a futures investigacions.

Esta tesis doctoral se centra en el estudio teórico y numérico de sistemas fotónicos con realimentación y múltiples líneas de retardo, en el límite en el que los tiempos de retardo son mucho más grandes que las escalas de tiempo intrínsecas del sistema. Se consideran dos sistemas ópticos con realimentación: i) dos osciladores optoelectrónicos (OEOs) mutuamente acoplados con retardo y ii) un láser de semiconductor con retardo dependiente del estado mediante el filtrado frecuencial desde dos cavidades con diferentes longitudes y frecuencias centrales. Aunque estos dos sistemas tienen en común la presencia de múltiples líneas de retardo, se trata de dos sistemas bastante diferentes. En el primero en todo momento intervienen dos tiempos de retardo. En el segundo, en cambio, la luz toma una única línea de retardo en cada momento; en este sistema, el valor del retardo es seleccionado intrínsicamente por el estado del sistema entre dos valores diferentes mediante el filtrado frecuencial de la luz desde dos filtros con diferentes frecuencias centrales colocados en dos cavidades de diferente longitud. Por un lado, se modelizan estos sistemas y se desarrollan métodos analíticos para encontrar soluciones aproximadas. Estos métodos podrían utilizarse para comprender la dinámica de otros sistemas con retardo. Por otro lado, se contrastan los resultados analíticos o experimentales con simulaciones numéricas. La tesis está dividida en cuatro partes. Las partes I, II y IV contienen varios capítulos, mientras que la parte III está formada por un solo capítulo. La parte I, Introducción, objectivos, herramientas y resultados anteriores , está dividida en tres capítulos: En el Capítulo 1, primero se introducen algunos ejemplos de sistemas en los cuales la presencia de retardos determina las propiedades dinámicas del sistema, en algunos casos dando lugar a comportamiento complejo. A continuación se presenta el problema general de un sistema con retardo y su modelización con ecuaciones diferenciales con retardo. Se explican dos ejemplos en detalle, incluyendo su modelización con ecuaciones diferenciales con retardo. Luego se introduce el régimen dinámico de oscilación periódica de tipo onda cuadrada que se puede obtener con OEOs y otros sistemas con retardo, y se resaltan algunas aplicaciones de estas ondas cuadradas, como el control del período y la codificación de información. El capítulo termina con un resumen de los objetivos de la tesis. En el Capítulo 2, se introducen algunos métodos numéricos y teóricos usados en esta tesis, como el análisis de estabilidad lineal, métodos y herramientas para el estudio de la estabilidad de soluciones periódicas, y algoritmos para integrar numéricamente las ecuaciones diferenciales con retardo. El Capítulo 3 está dedicado al estudio de la dinámica de sistemas sencillos en los que se basan los sistemas estudiados en esta tesis: un único OEO y un láser de semiconductor con realimentación óptica. En cada caso, se describe en detalle el sistema, se introduce su modelización con ecuaciones diferenciales con retardo, y se presentan sus diferentes regímenes dinámicos y posibles aplicaciones. La parte II está dedicada a la Sincronización en osciladores optoelectrónicos mutuamente acoplados con retardo y contiene cuatro capítulos: En el Capítulo 4, se describe el sistema de dos OEOs mutuamente acoplados y con dos tiempos de retardo diferentes, el de la propia realimentación y el del acoplamiento. Primero se derivan las ecuaciones dinámicas del sistema. A continuación se escriben las ecuaciones dinámicas en forma adimensional y se calcula la solución estacionaria estática (punto fijo) del sistema. Finalmente se introduce el caso de OEOs idénticos, se simplifican las ecuaciones dinámicas y se demuestra que el análisis de estabilidad lineal de la solución cero da lugar a soluciones periódicas sincronizadas en fase y en antifase. El Capítulo 5 se centra en la generación de pulsos simétricos de onda cuadrada mediante el sistema de dos OEOs idénticos mutuamente acoplados con retardo descrito en el capítulo 4, en el caso de realimentacion negativa, la cual tiende a reducir el efecto de las perturbaciones del estado etacionario estático. Primero se aplica el método de estabilidad lineal para obtener el período de las soluciones oscilatorias en función de la relación entre los dos tiempos de retardo diferentes. Se demuestra que múltiples soluciones periódicas de tipo onda cuadrada en fase coexisten cuando la razón entre el tiempo de retardo intrínseco y el del acoplamiento satisface una relación racional entre dos números impares. De manera similar, múltiples ondas cuadradas en antifase con diferentes períodos pueden coexistir cuando la razón entre el tiempo de retardo intrínseco y el del acoplamiento es un racional impar/- par. A continuación, se aplican métodos asintóticos para obtener mapas para la amplitud de las soluciones. Se demuestra que las ondas cuadradas periódicas experimentan una ruta al caos del tipo doblamiento de período. Después se analiza el efecto de cambiar ligeramente los valores de los parámetros en la forma de las soluciones. Finalmente, a partir del cálculo preciso del período de las soluciones, se observa un fenómeno de división del período en diferentes valores. El Capítulo 6 está dedicado a la aparición de pulsos de onda cuadrada estables con el mismo modelo que en el Capítulo 5 pero en el caso de realimentación positiva, la cual tiende a aumentar el efecto de las perturbaciones del estado etacionario estático. Las ondas cuadradas que surgen con realimentación positiva tienen un ciclo asimétrico y son más flexibles y robustas que las obtenidas con realimentación negativa; en particular, la asimetría de su ciclo les permite adaptar su forma en respuesta a cambios en los valores de los parámetros en vez de experimentar un doblamiento de período. Primero se aplica el análisis de estabilidad lineal del estado estacionario estático para obtener el período de las ondas cuadradas de mayor frecuencia en función de la relación entre los dos tiempos de retardo diferentes. Se demuestra que el sistema tiene soluciones sincronizadas en fase y en antifase, y que múltiples soluciones pueden coexistir, de manera similar al caso de realimentación negativa. Sin embargo, a diferencia del caso de realimentación negativa, aquí las soluciones en antifase siempre coexisten con soluciones en fase con diferentes períodos. Además, este sistema tiene soluciones periódicas de menor frecuencia, sincronizadas en fase y coexistiendo con las soluciones cuadradas rápidas para los mismos valores de los parámetros. A continuación se aplica un método asintótico para determinar la amplitud y forma de las ondas cuadradas. Se demuestra que el ciclo de las ondas cuadradas generadas con realimentación positiva se puede controlar cambiando el voltaje constante aplicado a los OEOs, manteniendo el período constante. También se analiza el efecto de variar ligeramente los valores de los parámetros en la forma de las soluciones. Se demuestra que las ondas cuadradas generadas con realimentación positiva son más robustas frente a cambios en los valores de los parámetros que las obtenidas con realimentación negativa. Finalmente, a partir del cálculo preciso del período de las soluciones, se demuestra que el período de las soluciones se divide en diferentes valores. En el Capítulo 7, se considera el caso de OEOs no idénticos, incluyendo las posibilidades de realimentación negativa, positiva y mixta. Se demuestra que este sistema puede generar múltiples ondas cuadradas, con diferentes tipos de sincronización (en fase, en antifase y a un cuarto del período) dependiendo del signo de la realimentación de cada oscilador. Las ondas cuadradas con sincronización a un cuarto del período aparecen principalmente cuando la realimentación es negativa para un oscilador y positiva para el otro. Finalmente se analiza la robustez de las soluciones sincronizadas a un cuarto del período frente a pequeños cambios en los valores de los parámetros. La parte III se centra en el tema Sistemas fotónicos con retardos que dependen del estado y está formada per un único capítulo: En el Capítulo 8, se considera un sistema de láser de semiconductor con filtrado frecuencial desde dos cavidades de longitudes y frecuencias centrales diferentes, como prototípico para estudiar la dinámica de un sistema con retardo que depende del estado. Primero se introduce el diseño experimental, basado en un láser de semiconductor con realimentación filtrada desde dos filtros de Bragg con diferentes frecuencias centrales y situados en dos cavidades de diferetes longitudes, y por lo tanto asociados a diferentes tiempos de retardo. Se demuestra que la dinámica de este sistema se caracteriza por saltos erráticos entre los dos valores del tiempo de retardo. A continuación se introduce un modelo teórico con filtrado lorenciano desde dos cavidades diferentes. Se calculan las soluciones estacionarias y se analiza la dinámica errática con retardo que depende del estado para diferentes valores de los parámetros. Se demuestra que los resultados numéricos en el régimen errático concuerdan de forma cualitativa con los resultados experimentales. También se demuestra que este sistema tiene soluciones más regulares, similares a las ondas cuadradas, con retardo dependiente del estado. Finalmente se analiza la estadística de los tiempos de residencia durante los que el retardo toma un valor constante. La parte IV, Resumen y perspectivas de trabajo , contiene dos capítulos de conclusiones: el Capítulo 9, correspondiente a la parte de los OEOs; y el Capítulo 10, referido a la parte de sistemas fotónicos con retardos dependientes del estado. En estos capítulos, se resumen los principales resultados obtenidos y se proponen algunas perspectivas de trabajo para futuras investigaciones.

This PhD thesis focuses on the theoretical and numerical study of photonic systems with feedback from multiple delay lines, in the limit in which the delay times are much longer than the intrinsic time scales of the system. Two optical systems with feedback are considered: i) two mutually delay-coupled optoelectronic oscillators (OEOs) and ii) a semiconductor laser with a delay time that depends on the state of the system via the filtered feedback from two cavities with different length and central frequency. Although these two systems have in common the presence of multiple delay lines, they are indeed quite different. In the former, two different delay times take part at any time. In the latter, in contrast, light takes a single delay line at any time; in this system, the delay time value is intrinsically selected among two different values by the state of the system since the frequency of light is selectively filtered by using two filters of different central frequencies placed in two cavities of different lengths. On the one hand, these systems are modelled and analytical methods are developed to find approximate solutions. These methods could be used to understand the dynamics of other systems with delay. On the other hand, extensive numerical simulations are compared to analytical or experimental results. The thesis is divided into four parts. Parts I, II and IV contain several chapters, whereas part III has a single chapter. Part I, Introduction, objectives, tools and previous results , is divided in three chapters: In Chapter 1, some examples of systems in which the presence of delays determines the dynamical properties of the system, often giving rise to complex behavior, are first introduced. After that, the generic problem of a system with delay and its modelling with delay differential equations is presented. Two examples are explained in detail, including their modelling with delay differential equations. Then, the square-wave periodic regime that can be obtained with OEOs and other systems with delay is introduced, and some applications of the square-wave regime are highlighted, such as the control of the period and information encoding. The chapter ends with a summary of the objectives of the thesis. Chapter 2 introduces some analytical and numerical methods and tools used in this thesis, such as the linear stability analysis, methods and tools for the study of the stability of periodic solutions, and algorithms to integrate numerically delay differential equations. Chapter 3 is devoted to the study of the dynamics of simple systems in which the systems studied in this thesis are based: a single OEO and a semiconductor laser with optical feedback. In each case, the system is described in detail, its modelling with delay-defferential equations is introduced, and its different dynamical regimes and possible applications are presented. Part II is devoted to the Synchronization in mutually delay-coupled optoelec- tronic oscillators and contains four chapters: Chapter 4 describes the system of two mutually delay-coupled OEOs with two different delay times, the self-feedback delay time and the coupling delay time. First, the dynamical equations of the system are derived. After that, the equations are writen in non-dimensional form and the steady state (fixed point) of the system is found. Finally, the case of identical OEOs is introduced, the dynamical equations are simplified and it is shown that the linear stability analysis of the zero solution gives rise to periodic solutions synchronized in phase and out of phase. Chapter 5 focuses on the generation of symmetric square-wave pulses by the system of two identical mutually delay-coupled OEOs described in Chapter 4, in the case of negative feedback, which tends to reduce the effect of the perturbations of the steady state solution. First, linear stability analysis is applied to obtain the period of the solutions as a function of the ratio between the two different delay times. It is shown that multiple in-phase square waves with different periods can coexist when the ratio between the self-feedback and the cross-feedback delay times satisfies a rational relationship involving two odd numbers. Similarly, multiple outof- phase square waves with different periodicity can coexist when the ratio between the self- and the cross-delay times is an odd/even rational. After that, asymptotic methods are applied to obtain maps for the amplitude of the solutions. It is found that the symmetric square-wave periodic solutions undergo a period doubling route to chaos. Then, the effect of the parameter mismatch in the form of the solutions is analyzed. Finally, a splitting of the period in different values is demonstrated by performing a precise calculation of the period of the solutions. Chapter 6 is devoted to the emergence of stable square-wave pulses with the system described in Chapter 4 in the case of positive feedback, which tends to amplify the effect of the perturbations of the steady state solution. The square waves arising with positive feedback have an asymmetric duty cycle and turn out to be more flexible and robust than those obtained with negative feedback; in particular, the asymmetry of their duty cycle allows them to adapt their shape in response to changes in the parameter values instead of undergoing a period doubling. First, the linear stability analysis of the steady state is applied to obtain the period of the oscillatory solutions as a function of the two different delay times. It is shown that the system has stable in- and out-of-phase synchronized solutions, and that several solutions can coexist, similarly to the case of negative feedback. Nevertheless, in contrast to the negative feedback case, here out-of-phase solutions always coexist with in-phase solutions with different periods. Furthermore, this system has limit cycles of lower frequency, synchronized in phase and coexisting with the aforementioned fast square waves for the same values of the parameters. After that, an asymptotic method is applied to determine the amplitude and the shape of the square waves. It is shown that the duty cycle of the square waves generated with positive feedback can be tuned with the constant voltage applied to the OEOs, while the total period remains constant. The effect of the parameter mismatch on the form of the solutions is also analyzed. It is found that the square waves generated with positive feedback are more robust to parameter mismatch than those obtained with negative feedback. Finally, a splitting of the period in different values is demonstrated by performing a precise calculation of the period of the solutions. Chapter 7 addresses the case of two non-identical OEOs, including the possibilities of negative, positive, and mixed feedback. It is shown that this system can generate multiple square-wave solutions, with different kinds of synchronization (in-phase, out-of-phase, or at a quarter of the period) depending on the sign of the feedback on each oscillator. The square waves with synchronization at a quarter of the period mainly appear when the feedback is negative for one oscillator and positive for the other one. Finally, the robustness of the solutions synchronized at a quarter of the period to parameter mismatch is analyzed. Part III focuses on the topic Photonic systems with state-dependent delays and contains a single chapter: In Chapter 8, a semiconductor laser system with frequency filtering from two cavities of different lengths and central frequencies is considered as prototypical to study the dynamics of a system with state-dependent delay. First, the experimental setup is presented. It is based on a semiconductor laser with filtered feedback from two Bragg filters of different central frequencies placed in two cavities of different lengths, and thus associated to different delay times, experiencing erratic jumps between the two delay-time values. Then, a theoretical model with lorentzian filtering from different cavities is introduced. The stationary solutions are calculated and the erratic dynamics with state-dependent delay is analyzed for different parameter values. It is shown that numerical results in the erratic regime are in qualitative agreement with the experiments. It is also shown that this system has more regular solutions, similar to the square waves, with state-dependent delay. Finally, the switching statistics is analyzed from the residence times during which the delay time remains constant. Part IV, Summary and future work , contains two concluding chapters: Chapter 9, corresponding to the part of OEOs; and Chapter 10, associated to the part of photonic systems with state-dependent delays. In these chapters, the main results are summarized and some perspectives of future work are proposed.