Cyclic codes as submodules of rings and direct product of rings

Abstract

Els codis cíclics són una família important en la teoria de la codificació i han estat una àrea principal d'estudi des de la seva aparició. Fins a la dècada dels 90, els alfabets habitualment utilitzats en teoria de codis eren cossos finits. A partir d'aleshores, es va iniciar l'estudi de codis definits sobre anells. Des de l'aparició dels codis Z2Z4-additius, la investigació de codis sobre alfabets d'anells mixtes s'ha incrementat. L'any 2014, Abualrub et al. van presentar els codis cíclics Z2Z4-additius i aquest fet va marcar l'inici de l'estudi de les propietats cícliques en codis sobre alfabets mixtes. La present tesi té com a objectiu examinar l'estructura algebraica dels codis cíclics com a submòduls de productes directes d'anells finits. Partint del fet que aquests codis poden ser interpretats com a submòduls del producte directe d'anells de polinomis, es determina l'estructura d'aquests codis cíclics tot donant els seus polinomis generadors. A més, s'estudia el concepte de dualitat definint l'operació polinòmica corresponent al producte intern de vectors. Aquesta operació permet entendre la dualitat en l'anell de polinomis corresponent. Així mateix, es proporcionen tècniques per donar una descripció polinòmica dels codis duals en termes dels polinomis generadors dels codis cíclics i es calculen explícitament en alguns casos particulars. També es consideren diferents mètriques en el producte directe d'anells finits i s'estudien les seves imatges binàries a través de diferents aplicacions que preserven les distàncies, anomenades aplicacions de Gray. Finalment, es dóna una estructura algebraica per a una gran família de codis quasi-cíclics binaris tot construint una família d'anells commutatius i una aplicació de Gray canònica. De tal manera que els codis cíclics sobre aquesta família d'anells produeixen codis quasi-cíclics d'índex arbitrari en l'espai d'Hamming a través de l'aplicació de Gray.

Cyclic codes are an important family in coding theory and have been a primary area of study since its inception. Until the 1990s the usual alphabet chosen by coding theorist was a finite field. Thereafter, it began the study of codes over rings. Since the emergence of Z2Z4-additive codes, the research on codes over mixed ring alphabets has increased. In 2014, Abualrub et al. presented Z2Z4-additive cyclic codes and it marked the beginning of the study of cyclic properties on codes over mixed alphabets. This thesis aims to explore the algebraic structure of cyclic codes as submodules of direct product of finite rings. As these codes can be seen as submodules of the direct product of polynomial rings, we determine the structure of these codes giving their generator polynomials. Further, we study the concept of duality defining the corresponding polynomial operation to the inner product of vectors. This operation allows us to understand the duality in the corresponding polynomial ring. Moreover, we provide techniques to give a polynomial description for dual codes in terms of the generator polynomials of the cyclic codes and we compute them in some particular cases. Also, we consider different metrics in the direct product of finite rings and we study their binary images under distinct distance preserving maps, called Gray maps. Finally, we give an algebraic structure for a large family of binary quasi-cyclic codes constructing a family of commutative rings and a canonical Gray map, such that cyclic codes over this family of rings produce quasi-cyclic codes of arbitrary index in the Hamming space via the Gray map.