On the stratification of smooth plane curves by automorphism groups

Abstract

Curvas proyectivas no singulares sobre un cuerpo con grupo de automorfismo no trivial son de gran interés en Geometría Aritmética. En la tesis, estudiamos la estratificación de las curvas planas no singulares (de género mayor o igual a tres) por sus grupos de automorfismos y tratamos con aspectos de geometría algebraica y aritmética.

En primer lugar, aportamos un estudio general de las clases (modulo -isomorfismo) de curvas planas lisas de género fijo g con un subgrupo de automorfismo fijo , donde denota una clausura algebraica fijada de . En particular, se aporta un estudio de grupos de automorfismos que aparecen y las ecuaciones definitorias asociadas en dichas clases.

En segundo lugar, sea C una curva proyectiva lisa definida sobre , en particular por extensión de escalares obtenemos una curva lisa sobre y suponemos que dicha extension corresponde a una curva plana no singular. Nuestro objetivo es estudiar cuerpos de definición de modelos planos no singulares para y de sus ``twists’’ sobre , usando la inmersión en en lugar de la dada por el modelo canónico en . Más concretamente, preguntamos si es una curva plana lisa sobre o no; y si la respuesta es afirmativa, es entonces cada ``twist’’ de sobre una curva plana lisa sobre ?. Para ambas preguntas la respuesta es no en general. Obtenemos resultados para las cuales las preguntas anteriores siempre tienen una respuesta afirmativa, y mostramos diferentes ejemplos con respecto a la respuesta general negativa. Curiosamente, en la forma de obtener estos ejemplos, tenemos que manejar con superficies no-triviales de Brauer-Severi, y somos capaces de calcular ecuaciones explícitas de una no trivial.

En tercer lugar, obtenemos una denominada clasificación representativa de los estratos por grupo de automorfismos de curvas planas no singulares sobre de género , donde es perfecto de característica o . Curiosamente, en la forma de obtener estas familias, encontramos dos fenómenos notables que no aparecieron anteriormente para género 3. Una, es la existencia de un estrato final no zero dimensional de curvas planas no-singular. Observamos en la tesis que esta es una situación usual cuando el género crece y aportamos una explicación. Describimos explícitamente familias representativas para todos los estratos, excepto para el estrato con grupo de automorfismo cíclico de orden , pero en este caso podemos demostrar la existencia de tal familia aplicando una versión del teorema de Lüroth en dimensión 2. Aquí encontramos la segunda diferencia con el caso de género inferior donde las técnicas conocidas no funcionan completamente.

Por último, sea un cuerpo perfecto de característica distinta de , y sea una curva plana lisa sobre cuyo grupo de automorfismo de C sea -conjugado a un grupo diagonal. Se sabe por el trabajo de B. Huggins en su tesis doctoral (2010, Berkeley) que el cuerpo de moduli de , relativo a la extensión de Galois no necesita ser un cuerpo de definición. Motivados por estos resultados, nos preguntamos sobre las caracterizaciones de tales curvas no definibles sobre su cuerpo de moduli. Distinguimos entre los dos casos dependiendo de si el número de puntos del plano proyectivo fijados por el grupo de automorfismo es finito o infinito. Nuestros resultados pueden ser utilizados como una fuente constructiva de ejemplos para curvas planas lisas con automorfismo cíclico donde el cuerpo de moduli no es un cuerpo de definición.

Smooth projective curves over a field with non-trivial automorphism group are always of deep interest in the literature. Following the philosophy of Diophantine equations theory, the simplest case is to consider smooth plane curves over of geometric genus In the thesis, we study the stratification of smooth plane curves by their automorphism groups and we deal with both algebraic and arithmetic geometry aspects. We first give a general study of the stratum, consisting of -isomorphism classes of smooth plane curves of fix genus with a fixed automorphism subgroup , where is a fixed algebraic closure of . In particular, a detailed study of the structure of their automorphism group and the associated defining equations is investigated. Second, let be a smooth projective curve defined over , which is also plane viewed as a smooth curve over . We aim to study fields of definition for non-singular plane models of and also of its twists over k by considering the embedding into instead of the one given by the canonical model into More concretely, we ask whether is a smooth plane curve over or not; and if the answer is yes, is every twist of over also a smooth plane curve over For both questions the answer is no in general, it is not. We obtain results for the curves for which the above questions always have an affirmative answer, and we show different examples concerning the negative general answer. Interestingly, in the way to get these examples, we need to handle with non-trivial Brauer-Severi surfaces, and we are able to compute explicit equations of a non-trivial one. As far as we know, this is the first time that such equations are exhibited. Third, we obtain a so-called representative classification for the strata by automorphism group of smooth -plane curves of genus , where is perfect of characteristic or . Interestingly, in the way to get these families, we find two remarkable phenomena that did not appear before. One is the existence of a non -dimensional final stratum of plane curves. At a first sight it may sound odd, but we will see that this is a normal situation for higher degrees and we will give an explanation for it. We explicitly describe representative families for all strata, except for the stratum with cyclic automorphism group of order (fortunately, we are still able to prove the existence of such family by applying a version of Lüroth’s theorem in dimension 2). Here we find the second difference with the lower genus cases where the known techniques do not fully work. Finally, let be a perfect field of characteristic different from , and be a smooth plane curve over whose automorphism group of is -conjugate to a diagonal group. It is known from the work of B. Huggins in her PhD thesis (2010, Berkeley) that the field of moduli for , relative to the Galois extension does not need to be a field of definition. Motivated by these results, we wonder about characterizations of such curves not definable over their field of moduli. We distinguish between the two cases depending on whether the number of points of the projective plane fixed by the automorphism group is finite or infinite. Our results can be usede as a constructive source of so many examples of smooth plane curves with cyclic automorphism where the field of moduli is not a field of definition.