Liouville-Weyl derivatives, best approximations, and moduli of smoothness

Abstract

En aquest treball estudiem les propietats d'aproximació i de suavitat de les derivades de Liouville-Weyl generalitzades. Els tres problemes que tractem són els següents: Primer, obtenim fites superiors i inferiors per a les normes i millors aproximacions de les derivades de Liouville-Weyl en termes de les funcions en sí mateixes. Per a l'estudi de les derivades de Liouville-Weyl, utilitzem el concepte de monotonia general. En segon lloc, estudiem un problema similar per als mòduls de suavitat d'ordre fraccional. Més específicament, provem noves desigualtats per als mòduls de suavitat de les derivades de Liouville-Weyl generalitzades en termes de les funcions en sí mateixes. Ambdós problemes poden ser dividits naturalment en dos casos: estimacions Lp-Lp i Lp-Lq. En tercer lloc, obtenim noves desigualtats per a les millors aproximacions per angle en diverses variables.

This work is devoted to the study of approximation and smoothness properties of the generalized Liouville-Weyl derivatives. The main three problems we address are the following. First, we obtain new upper and lower estimates of norms and best approximations of the generalized Liouville-Weyl derivatives in terms of the best approximations of functions themselves. To deal with Liouville-Weyl derivatives, we make use of the concept of general monotonicity. Second, we study a similar problem for moduli of smoothness of fractional order. More specifically, we prove new inequalities for moduli of smoothness of the generalized Liouville-Weyl derivatives via moduli of smoothness of functions themselves. Both problems can be naturally divided into two cases: Lp-Lp and Lp-Lq estimates.

Third, we obtain new inequalities for best approximations by angle in the multivariate case.