Integrability of Fourier transforms, general monotonicity, and related problems

Abstract

El propòsit d'aquesta tesi és el d'estudiar les propietats d'integrabilitat i convergència de sèries i transformades de Fourier. Els resultats principals són els següents: 1. Incestiguem les propietats d'integrabilitat de sèries trigonomètriques amb coeficients que satisfan una condició de monotonia general i demostrem resultats del tipus Hardy-Littlewood, és a dir, equivalències entre normes de les sumes de sèries trigonomètriques i normes amb pesos dels seus coeficients de Fourier. Demostrem aquestes equivalències en espais de Lorentz i espais de Lebesgue amb pesos. 2. Estudiem propietats de suavitat de funcions que poden ser representades per mitjà de sèries trigonomètriques amb coefficients que satisfan una condició de monotonia general. Es demostra una equivalència del Lp-mòdul de suavitat d'aquestes funcions i les sumes amb pesos dels seus coeficients de Fourier. 3. Obtenim versions multi-dimensionals de teoremes de tipus Boas en relació a les propietats d'integrabilitat de transformades de Fourier de funcions que són monòtones en totes les variable. 4. Finalment, estudiem criteris per a la convergència uniforme de sèries trigonomètriques amb coefficients que satisfan una condició de monotonia general. En particular, generalitzem el conegut criteri de Chaundy-Jolliffe per a la convergència uniforme de sèries sinusoidals i obtenim el resultat corresponent per sèries cosinusoidals. A més, provem condicions necessàries i suficients per tal que les sumes partials de Fourier d'aquestes sèries tinguin un cert ordre de convergència.

This thesis is devoted to the study of integrability and convergence properties of Fourier series and transforms.

The main results are the following.

1. We investigate the integrability properties of trigonometric series with general monotone coefficients and prove the Hardy-Littlewood-type results, i.e., equivalences of the norms of sums of trigonometric series and weighted norms of their Fourier coefficients. We prove such equivalences for the Lorentz and weighted Lebesgue spaces. Here we deal with the trigonometric series with general monotone coefficients.

2. We study the smoothness properties of functions that can be represented by trigonometric series with general monotone coefficients. The equivalence of the Lp-modulus of smoothness of such functions and weighted sums of their Fourier coefficients is proved.

3. We obtain the multidimensional versions of Boas-type theorem on integrability properties of the Fourier transforms of monotone in each variable functions.

4. Finally, we study criteria for the uniform convergence of trigonometric series with general monotone coefficients. In particular, we generalize the well-known Chaundy-Jolliffee criterion for the uniform convergence of sine series and obtain the corresponding result for cosine series. Moreover, we prove necessary and sufficient conditions for partial Fourier sums of such series to have certain convergence rate.