Contributions to stochastic analysis

Abstract

The aim of this dissertation is to present some new results on stochastic analysis. It consists on three works that deal with two Gaussian processes: the Brownian motion and the fractional Brownian motion with Hurst parameter H less than 1/2.

In the first work we construct a family of processes, from a single Poisson process and a sequence of independent random variables with common Bernoulli distribution, that converges in law to a complex Brownian motion. We find realizations of these processes that converge almost surely to the complex Brownian motion, uniformly on the unit time interval, and we derive the rate of convergence.

In the second work, we establish the weak convergence, in the topology of the Skorohod space, of the symmetric Riemann sums for functionals of the fractional Brownian motion when the Hurst parameter takes a critical value that depends on the chosen measure. As a consequence, we derive a change-of-variable formula in distribution, where the correction term is a stochastic integral with respect to a Brownian motion that is independent of the fractional Brownian motion.

The last work is devoted to prove that, when the delay goes to zero, the solution of delay differential equations driven by a Hölder continuous function of order in (1/3,1/2) converges with the supremum norm to the solution of the equation without delay.

L’objectiu d’aquesta tesi és presentar alguns resultats innovadors en el camp de l’anàlisi estocàstica. Proposem tres treballs que tracten amb dos processos Gaussians: el moviment Brownià i el moviment Brownià fraccionari amb paràmetre de Hurst menor que 1/2.

En el primer treball, construïm una família de processos, a partir d’un procés de Poisson i d’una seqüència de variables aleatòries independents amb distribució de Bernoulli, que convergeix en llei cap a un moviment Brownià complex. Trobem realitzacions d’aquests processos que convergeixen quasi segurament a un moviment Brownià complex, uniformement a l’interval de temps unitat. En derivem també la velocitat de convergència.

En el segon treball, determinem la convergència feble, en la topologia de l’espai de Skorohod, de les sumes de Riemann simètriques per funcionals del moviment Brownià fraccionari quan el paràmetre de Hurst pren un valor crític que depèn de la mesura considerada. Com a conseqüència, derivem una fórmula de canvi de variable en distribució, on el terme de correcció és una integral estocàstica amb respecte a un moviment Brownià independent del moviment Brownià fraccionari.

En l’últim treball demostrem que, quan el retard tendeix a zero, la solució d’equacions diferencials amb retard dirigides per una funció Hölder contínua amb ordre a (1/3,1/2) convergeix en la norma del suprem a la solució d’equacions sense retard.