Global instability in Hamiltonian systems

Abstract

In Chapters 1 and 2 of this thesis, we prove that for any non-trivial perturbation depending on any two independent harmonics of a pendulum and a rotor there is global instability. The proof is based on the geometrical method and relies on the concrete computation of several scattering maps. A complete description of the different kinds of scattering maps takes place. We separate the proof of the general system in two cases. The first one is studied in Chapter 1. There, a proof is given for the simplest perturbation function. Besides, we find out some very special diffusion orbits, called "highways", and we give estimates of the time of diffusion for these orbits. The second case is considered in Chapter 2, and the proof of diffusion is completed. In Chapter 2, the existence of piecewise smooth global scattering maps is also provided. In Chapter 3, we consider a similar Hamiltonian with 3 degrees of freedom. We prove the diffusion using a combination of scattering maps and inner dynamics with concrete diffusion paths.We also compare the results obtained in this case with the results in Chapter 1. Closing the thesis, we comment some open problems remained of the study that we have done along the three previous Chapters.

Als Capítols 1 i 2 d'aquesta tesi es prova que per a una pertorbació no trivial depenent de dos harmònics qualsevol d'un pèndol i un rotor, hi ha inestabilitat global. La demostració es basa en el mètode geomètric i s'ha elaborat a través de computació concreta de diversos scattering maps. Es realitza una descripció completa dels diferents tipus de scattering map. La demostració del sistema general es divideix en dos casos. El primer és estudiat al Capítol 1, on es presenta una demostració per la funció de pertorbació més simple. A més a més, s'han observat algunes òrbites de difusió molt especials, anomenades "highways", i s'ha pogut fer estimacions sobre el temps de difusió d'aquestes òrbites. El segon cas és tractat al Capítol 2, en el que es completa la demostració de l'existència de difusió. Al Capítol 2, també s'estableix l'existència de "piecewise smooth global scattering maps". Al Capítol 3, es considera un Hamiltonià similar amb 3 graus de llibertat. S'ha provat la difusió utilitzant una combinació d'scattering maps i dinàmica interna amb camins de difusió concrets. Finalment, es comparen els resultats obtinguts en aquest cas amb els obtinguts al Capítol 1. Per a acabar, es comenten alguns problemes pertanyents a l'àmbit de la tesi, que seria interessant estudiar en futurs treballs