Aporte al diseño de engranajes no circulares cilíndricos rectos

Abstract

En multitud de aplicaciones, es de interés obtener relaciones de transmisión variables a lo largo de un ciclo de rotación del eslabón conductor. Éstas pueden obtenerse mediante distintos mecanismos, entre ellos los engranajes no circulares dando al diseño la ventaja de tener una transmisión precisa, ser de tamaño compacto y poder ser balanceados fácilmente. Éstos permiten obtener cualquier ley de desplazamiento o relación de transmisión entre la velocidad angular del eje conducido y del eje conductor siempre que cumpla con las condiciones requeridas de continuidad y de curvatura exigidas a las curvas primitivas de las ruedas.<br/>El objetivo principal de la presente tesis es dar un tratamiento analítico al diseño de un engranaje no circular que satisface una ley de desplazamiento y realizar el análisis cinemático y cinetostático. <br/>En el diseño de la ley de desplazamiento se utilizan funciones armónicas, curvas de Bézier no paramétricas y curvas B-spline no paramétricas. Debido a la gran cantidad de publicaciones respecto a los engranajes elípticos, se deducen la ley de desplazamiento de éstos tomando como parámetros de diseño la semidistancia focal y la distancia entre los centros de rotación de las ruedas elípticas. La mayor parte de investigaciones realizadas sobre engranajes no circulares se centra en el diseño y en la aplicación de los engranajes elípticos. A pesar de ser muy utilizados, estos tipos de engranajes no garantizan el cumplimiento de cualquier ley de desplazamiento deseada entre sus eslabones. Es por ello que en la presente tesis doctoral se estudia el diseño de los engranajes no circulares que cumplan con una ley de desplazamiento deseada.<br/>La obtención de la curva primitiva y del perfil del diente se formulan mediante un método analítico que utiliza el ángulo de giro de la rueda conductora como única variable independiente de entrada. De esta forma, se puede implementar un algoritmo en un programa como Matemática© que integra el tratamiento simbólico y el cálculo numérico. Adicionalmente, se puede definir la rueda dentada mediante una serie de puntos para su posterior mecanizado en una máquina CNC. La generación del perfil del diente se basa en la simulación del proceso de corte del diente de las ruedas dentadas de un engranaje no circular cilíndrico recto utilizando como herramienta de corte una cremallera estándar. <br/>En una rueda dentada circular, la circunferencia base es concéntrica con la circunferencia primitiva y tangente a la línea de acción. En un engranaje no circular, la curva base de las ruedas dentadas no se conoce a priori y no es tan fácil de determinar. En esta tesis se estudian las curvas base de las ruedas dentadas de un engranaje no circular obtenidas como el lugar geométrico de los puntos singulares sobre el perfil de involuta del diente. Los puntos singulares, puntos en los que se inicia la formación de un segundo ramal en el perfil, se obtienen de la observación de la velocidad relativa entre la cremallera y la rueda; concretamente, cuando la velocidad relativa de la cremallera es cero. <br/>En el análisis cinetostático, se comparan las reacciones en los apoyos fijos y el par motor requerido en el eslabón conductor de un engranaje no circular y un mecanismo articulado con idéntica ley de desplazamiento y suponiendo que el eslabón conductor gira a velocidad angular constante y en el eslabón conducido existe un par resistivo constante. En la fase experimental se realiza la comprobación del par motor requerido por ambos mecanismos; para esto, se utilizan dos motores de corriente continua que se instalan uno en el eje del eslabón conductor y el otro en el eje del eslabón conducido. El motor que se instala en el eje del eslabón conductor se alimenta con tensión constante, de esta forma el eslabón conductor gira con velocidad angular nominalmente constante; el motor del eje conducido se alimenta con intensidad constante, de esta forma se aplica un par nominalmente constante en el eje del eslabón conducido.

There are many applications where non-uniform rotation transmission mechanisms are required. Noncircular gears wheels can be used to produce this kind of non-constant transmission, giving design additional advantages such as accurate transmission, easy balancing and compact size. Noncircular gears allow to obtain any displacement law or transmission ratio between the angular velocity of the driven shaft and the angular velocity of driving shaft whenever this law accomplishes with the continuity and curvature condition required by the pitch curves of gear wheels. <br/>The main objective of this thesis is to provides an analytical approach to the design of noncircular gear that accomplishes a given displacement law and to carry out a kinematics and a kinetics analysis.<br/>Harmonic functions, non parametric Bézier curves and non parametric Bspline curves are used, in this thesis, to the design of displacement laws. Due to there are many papers about elliptical gear, the displacement law of elliptical gear, taking the focal semi distance and the center distance between rotation shafts as design parameters, is also obtained. Most publications concerning noncircular gears concentrate on the design and application of elliptical gears. However, the elliptical gear limits the design process in order to satisfy a given relationship between its linkages. Due to last reason, the approach of this thesis is the design of noncircular gear that satisfies a given displacement law.<br/>The generation of the pitch curves and the tooth profile are formulated using an analytical method that uses the rotate angle of driving gear wheel as unique input independent variable. So, an algorithm in a software as Matemática©, that integrates symbolic treatment and numerical calculus, can be implemented. Additionally, the gear wheels can be defined as a set of points ready to be manufactured by a CNC machine. Tooth profile generation is based on the simulation of cuttering process of the tooth of noncircular gear wheel using a rack cutter as tool.<br/>The base circle of a circular gear is concentric with the pitch circle and tangent to the action line. However, in a noncircular gear the base curve is not known a priori and is not easy to determine. In this thesis, the base curves of noncircular gear wheels are obtained as the geometrical locus of the singular points on the involute tooth profile. Singular points, points from which a second involute branch begins to form on the tooth profile, are obtained, by the study of the relative velocity of contact point, between gear wheel and rack cutter, concretely when the relative velocity is zero. <br/>The reaction forces in the fixed pivots and the required input torque in the driving shaft of a linkages mechanism and a noncircular gear that accomplishes the same displacement law are compared. In this analysis, the driving shaft rotates with constant angular velocity and a constant resistive torque is applied on the driven shaft. In the experimental tests, the required input torques of both mechanisms are verified. For this, two c. c. motors are used; one motor is installed in the driving shaft and the other one is installed in the driven shaft. The motor installed in the driving shaft is alimented with constant voltage, thus the driving shaft rotates with angular velocity nominally constant; the motor installed in the driven shaft is alimented with constant current, thus a nominal constant torque is applied on the driven shaft.