Sylvester matrix rank functions on crossed products and the Atiyah problem

Abstract

La motivació principal de la tesi ha estat l'estudi del problema d'Atiyah, que es pregunta sobre els possibles valors que poden assolir els nombres de Betti l2 de grups discrets numerables G. Aquesta pregunta va motivar un seguit d'articles en els quals es van formular (i en alguns casos rellevants demostrar) enunciats més forts que la pregunta original d'Atiyah, que preguntava si hi havia grups discrets numerables G amb nombres de Betti l2 irracionals. Recentment, la pregunta original d'Atiyah ha estat resolta, i diversos autors (entre ells Austin i Grabowski) han trobat exemples de grups amb nombres de Betti l2 irracionals. El grup lamplighter és un d'aquests grups. La tesi presenta un enfocament algebraic al problema d'Atiyah, considerant la clausura -regular de l'àlgebra de grup dins de l'àlgebra U(G) d'operadors (possiblement no acotats) a liats a l'àlgebra de von Neumann de G. Al treballar amb el grup lamplighter, i seguint idees d'Ara i Goodearl, es construeix una seqüència de -subàlgebres de l'àlgebra de grup, que proporciona un mètode per a realitzar l'àlgebra de grup dins del factor continu de von Neumann M. Això permet construir una matriu de rang de Sylvester a l'àlgebra de grup, que en aquest cas particular coincideix amb la funció de rang que aquesta hereta de U(G). Al observar que l'àlgebra del grup lamplighter es pot realitzar com a una àlgebra de producte creuat provinent d'un sistema dinàmic, i usant idees de Putnam, es mostra en el Capítol 2 que la construcció anterior es pot generalitzar a àlgebres de producte creuat d'un espai de Cantor per un homeomor sme, donant així una manera explícita de construir funcions de rang de Sylvester en aquestes àlgebres de producte creuat. S'estudia també la unicitat d'aquestes funcions de rang. Aquesta funció de rang dóna lloc a una noció de dimensió, de manera que ens permet de nir nombres de Betti l2 en aquest entorn més general de manera que aquests coincideixen amb la noció clàssica de nombres de Betti l2 en la situació de l'exemple que motiva tota la construcció, l'àlgebra del grup lamplighter. Seguint idees de Grabowski i aplicant les tècniques anteriors, s'ha trobat tota una família de nombres de Betti l2 irracionals provinents de l'àlgebra del grup lamplighter, i de fet s'ha pogut caracteritzar completament els nombres de Betti l2 que poden sorgir de les anomenades àlgebres d'hodòmetres, que també són un cas particular d'àlgebres de producte creuat. Això es fa en el Capítol 3. El Capítol 4 tracta sobre completacions en rang de k-àlgebres ultramatricials, essent k un cos arbitrari. Es dóna una generalització d'un resultat de von Neumann i de Halperin, establint així una interessant analogia amb l'estructura del factor II1 hiper nit en la teoria de les àlgebres de von Neumann. S'obtenen resultat anàlegs en el cas de D-anells, i anells amb involució . També presentem, en el Capítol 5, un possible enfocament analític per atacar el problema d'Atiyah, a través de l'estudi dels que s'anomenen estats KMS sobre l'àlgebra de Toeplitz d'un grup(oide) G actuant sobre un graf E

This thesis is primarily concerned with the famous Atiyah problem, which asks about the possible l2-Betti numbers of discrete countable groups G. This question motivated a series of research papers in which where formulated (and proved in some relevant cases) statements stronger than the Atiyah original question, which asked whether there were countable discrete groups G with irrational l2-Betti numbers. Recently, the original Atiyah question has been solved, and some authors (including Austin and Grabowski) found examples of groups with irrational l2-Betti numbers. The lamplighter group is one of these groups. The thesis presents an algebraic approach to the Atiyah problem by considering the -regular closure of the group algebra inside the algebra U(G) of (possibly unbounded) a liated operators of the group von Neumann algebra of G. By working on the lamplighter group, and following ideas of Ara and Goodearl, a sequence of approximating -subalgebras of the group algebra is constructed, giving a way of embedding the group algebra inside the well-known von Neumann continuous factor M. This allows us to construct a Sylvester matrix rank function on the group algebra, which in this particular case coincides with the rank function it inherits from U(G). By observing that the lamplighter group algebra can be realized as a crossed product algebra arising from a dynamical system, and using ideas of Putnam, it is shown in Chapter 2 that the above construction can be generalized to general crossed product algebras of a Cantor space by a homeomorphism, thus giving an explicit way of constructing Sylvester matrix rank functions on such crossed product algebras. The uniqueness of these rank functions is also studied. This rank function gives a notion of dimension, so allows us to de ne l2-Betti numbers in this more general setting in such a way that they coincide with the classical notion of l2-Betti numbers in the situation of the motivating example of the lamplighter group algebra. By following ideas of Grabowski and applying the previous techniques, we have been able to nd a whole family of irrational l2-Betti numbers arising from the lamplighter group algebra, and in fact we completely determined the possible l2-Betti numbers that can arise from the so-called odometer algebras, which are also a special case of crossed product algebras. This is done in Chapter 3. Chapter 4 concerns about the rank completions of ultramatricial k-algebras, being k an arbitrary eld. A generalization of a result of von Neumann and Halperin is given, establishing an interesting analogy with the structure of the hyper nite II1 factor in the theory of von Neumann algebras. Analogous results are obtained in the case of D-rings, and rings with involution *. We also present a possible analytical approach to attack the Atiyah problem in Chapter 5, through studying the KMS states over the Toeplitz algebra of a group(oid) G acting on a graph E.