Advanced stock price models, concave distortion functions and liquidity risk in finance

Abstract

Esta tesis consta de tres ensayos. En el primer ensayo, probamos empíricamente el desempeño de los precios de varios modelos financieros avanzados para opciones exóticas. Calibramos seis modelos avanzados para precios de acciones a una serie de datos de mercado reales de opciones europeas en el DAX, el índice de referencia de la Bolsa alemana. A través de una simulación de Monte Carlo, calculamos precios de opciones de barrera para todos los modelos y comparamos los precios modelados con los precios del mercado de las opciones de barrera. El modelo Bates reproduce bien los precios de las opciones de barrera. El modelo BNS sobrevalora y los modelos Lévy con cambio temporal estocástico y con efecto de palanca subestiman los precios de las opciones exóticas. Un análisis heurístico sugiere que el diferente grado de fluctuación de las trayectorias aleatorias de los modelos es el responsable de producir diferentes precios para las opciones de barrera.

En el segundo ensayo de esta tesis se examinan medidas de riesgo coherentes y funciones de distorsión cóncavas. Una familia de funciones cóncavas de distorsión es un conjunto de funciones cóncavas y crecientes, con dominio e imagen igual al intervalo unitario. Se usan las funciones de distorsión para definir medidas de riesgo coherentes. Demostramos que cualquier familia de funciones de distorsión que cumpla una ecuación de traslación, puede ser representada por una función de distribución. Una aplicación se puede encontrar en la ciencia actuarial: los principios de primas basados en los momentos son fáciles de entender, pero en general no son monótonos y no se pueden utilizar para comparar los riesgos de diferentes contratos de seguros entre sí. Nuestro teorema de representación permite comparar dos riesgos de seguros entre sí de acuerdo con un principio de primas basado en un momento, definiendo adecuadamente una medida de riesgo coherente.

En el último ensayo de esta tesis, investigamos los mercados financieros con fricciones, donde los precios de compra y venta de instrumentos financieros se describen mediante funciones de precios sublineares. Estas funciones pueden definirse recursivamente utilizando medidas de riesgo coherentes. En un modelo binomial y en la presencia de costes de transacción, demostramos la convergencia de los precios de compra y venta para varias opciones europeas y americanas, en particular opciones plain vanillas, asiáticas, lookback y de barrera. Realizamos varios experimentos numéricos para confirmar los hallazgos teóricos. Aplicamos los resultados a los datos de mercado reales de las opciones plain vanilla europeas y americanas y calculamos una liquidez implícita para describir la diferencia de precios de compra y venta. Este método describe muy bien la liquidez en comparación con el enfoque clásico de describir la diferencia entre los precios de compra y venta con las volatilidades implícitas de dichos precios.

This thesis consists of three essays. In the first essay, we test empirically the pricing performance of several advanced financial models. We calibrate six advanced stock price models to a time series of real market data of European options on the DAX, a German blue chip index. Via a Monte Carlo simulation, we price barrier down-and-out call options for all models and compare the modelled prices to given real market data of the barrier options. The Bates model reproduces barrier option prices well. The BNS model overvalues and Lévy models with stochastic time-change and leverage undervalue the exotic options. A heuristic analysis suggests that the different degree of fluctuation of the random paths of the models are responsible of producing different prices for the barrier options.

The second essay of this thesis discusses the relationship between coherent risk measures and concave distortion functions. A family of concave distortion functions is a set of concave and increasing functions, mapping the unity interval onto itself. Distortion functions play an important role defining coherent risk measures. We prove that any family of distortion functions which fulfils a certain translation equation, can be represented by a distribution function. An application can be found in actuarial science: moment based premium principles are easy to understand but in general are not monotone and cannot be used to compare the riskiness of different insurance contracts with each other. Our representation theorem makes it possible to compare two insurance risks with each other consistent with a moment based premium principle by defining an appropriate coherent risk measure.

In the last essay of this thesis, we investigate financial markets with frictions, where bid and ask prices of financial intruments are described by sublinear pricing functionals. Such functionals can be defined recursively using coherent risk measures. We prove the convergence of bid and ask prices for various European and American possible path-dependent options, in particular plain vanilla, Asian, lookback and barrier options in a binomial model in the presence of transaction costs. We perform several numerical experiments to confirm the theoretical findings. We apply the results to real market data of European and American plain vanilla options and compute an implied liquidity to describe the bid-ask spread. This method describes liquidity over time very well, compared to the classical approach of describing the bid-ask spread by quoting bid and ask implied volatilities.