Weak approximation of the complex brownian sheet and applications to SPDES

Abstract

Aquest treball es desenvolupa en l'àrea de la teoria de la probabilitat i dels processos estocàstics. Més en concret en l'àrea de la convergència feble i en l'àrea de les equacions diferencials en derivades parcials estocàstiques. En ell considerem un procés de Lévy en el pla, també conegut com a drap de Lévy, i amb ell construïm una família de processos estocàstics que prenen valors complexos. Després demostrem que aquesta família convergeix feblement, en l'espai de les funcions contínues, a un drap brownià complex. És a dir, tant la part real com la part imaginària són draps brownians i ambdós són independents. Per obtenir aquest resultat primer demostrem que la nostra família de processos és ajustada en l'espai de les funcions contínues. En segon lloc, demostrem que les distribucions en dimensió finita convergeixen cap a una mesura de probabilitat, que resulta ser la llei d'un procés estocàstic complex les parts real i imaginària del qual són draps brownians independents. Finalment, apliquem aquest resultat per obtenir una família de processos que aproximen feblement la solució d'una equació de la calor estocàstica amb un soroll blanc additiu en temps i espai i un coeficient de deriva no lineal.

Este trabajo se desarrolla en el área de la teoría de la probabilidad y de los procesos estocásticos. Más en concreto en el área de la convergencia débil y en el área de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales estocásticas. En él consideramos un proceso de Lévy en el plano, también conocido como manta de Lévy, y con ella construimos una familia de procesos estocásticos que toman valores complejos. Después demostramos que dicha familia converge débilmente, en el espacio de las funciones continuas, a una manta Browniana compleja. Es decir, tanto la parte real como la parte imaginaria son mantas Brownianas y ambas son independientes. Para obtener este resultado primero demostramos que nuestra familia de procesos es uniformemente tensa en el espacio de las funciones continuas. En segundo lugar, demostramos que las distribuciones en dimensión finita convergen hacia cierta medida de probabilidad, la cual resulta ser la ley de un proceso estocástico complejo cuyas partes real e imaginaria son mantas Browniana independientes entre ellas. Finalmente, aplicamos este resultado para obtener una familia de procesos que aproximan débilmente la solución de una ecuación del calor estocástica con un ruido blanco aditivo en tiempo y espacio y un coeficiente de deriva no lineal.

This work is developed in the area of probability theory and stochastic processes. More specifically in the area of weak convergence and stochastic partial differential equations. We consider a Lévy process on the plane, also known as Lévy sheet, and we use it to build a family of complex-valued stochastic processes. Then, we show that this family converges weakly, in the space of continuous functions, to a complex Brownian sheet. That is, both the real and imaginary parts are Brownian sheets and both are independent. To obtain this result, we first prove that our family of processes is tight in the space of continuous functions. Secondly, we show that the finite dimension distributions converge to a certain probability measure, which turns out to be the law of a complex-valued stochastic process whose real and imaginary parts are independent Brownian sheets. Finally, we apply this result to obtain a family of processes that approximate in law the solution of a quasi-linear stochastic heat equation with an additive space-time white noise.