Study of the relativistic dynamics of extreme-mass-ratio inspirals

Abstract

El tema principal d’aquesta tesi és el problema gravitacional de dos cossos en el règim de raons de masses extremes - és a dir, on una massa és significativament més petita que l’altra - en el context complet de la nostra teoria contemporània de la gravetat, la relativitat general. Dividim aquest treball en dues grans parts: la primera proporciona una visió general de la teoria de la relativitat general juntament amb els mètodes bàsics matemàtics en què s’hi basa, centrant-se en la seva formulació canònica i les tècniques de pertorbació; la segona està dedicada a presentar la nostra contribució en aquests àmbits, centrada en els problemes de l’entropia, el moviment i la força pròpia en la relativitat general.

Comencem a la primera part, en conseqüència, oferint una introducció històrica a la relativitat general, així com una discussió sobre la motivació actual a partir de l’astronomia d’ones gravitacionals al capítol 1. A continuació, al capítol 2, passem a una exposició tècnica detallada d’aquesta teoria, centrada sobre la seva formulació canònica (hamiltoniana). Acabem aquesta part de la tesi amb un desenvolupament rigorós de mètodes de pertorbació al capítol 3. Per a la comoditat del lector, resumim alguns conceptes bàsics en geometria diferencial necessaris per a tractar aquests temes a l’apèndix A.

A la part II, comencem amb un estudi dels teoremes d’entropia en sistemes clàssics hamiltonians al capítol 4, i en particular, la qüestió de la segona llei de la termodinàmica en la mecànica clàssica i la relativitat general, amb el focus en el problema gravitatori de dos cossos. Al capítol 5, desenvolupem una anàlisi general basada en lleis de conservació per a calcular la correcció en el moviment d’un objecte prou petit a causa de les pertorbacions gravitacionals de la relativitat general. Quan les pertorbacions s’atribueixen al propi objecte petit, aquest efecte es coneix com a força pròpia gravitacional. És el que impulsa l’evolució orbital de les caigudes en espiral amb raó de masses extrema: sistemes binaris compactes on una massa és molt menor que - i per tant, efectivament orbita i, finalment, fa espirals cap a - l’altre. Es preveu que siguin una de les principals fonts del futur detector d’ones gravitacionals LISA, situada en l’espai. Al capítol 6, es presenta un treball sobre el càlcul numèric de la força pròpia escalar - una prova útil per al cas gravitatori - per òrbites circulars en el domini de freqüència, utilitzant un mètode per abordar fonts de distribució en les equacions de camp anomenat el mètode Partícula-sense-Partícula. Incloem també, en l’apèndix B, alguns treballs sobre la generalització d’aquest mètode a equacions diferencials parcials generals amb fonts distribucionals, incloent també aplicacions a altres àrees de matemàtiques aplicades. Resumim els nostres resultats en aquesta tesi i oferim algunes reflexions finals al capítol 7.

The principal subject of this thesis is the gravitational two-body problem in the extreme-mass-ratio regime - that is, where one mass is significantly smaller than the other - in the full context of our contemporary theory of gravity, general relativity. We divide this work into two broad parts: the first provides an overview of the theory of general relativity along with the basic mathematical methods underlying it, focusing on its canonical formulation and perturbation techniques; the second is dedicated to a presentation of our novel work in these areas, focusing on the problems of entropy, motion and the self-force in general relativity.

We begin in Part I, accordingly, by offering a historical introduction to general relativity as well as a discussion on current motivation from gravitational wave astronomy in Chapter 1. Then, in Chapter 2, we turn to a detailed technical exposition of this theory, focusing on its canonical (Hamiltonian) formulation. We end this part of the thesis with a rigorous development of perturbation methods in Chapter 3. For the convenience of the reader, we summarize some basic concepts in differential geometry needed for treating these topics in Appendix A.

In Part II, we begin with a study of entropy theorems in classical Hamiltonian systems in Chapter 4, and in particular, the issue of the second law of thermodynamics in classical mechanics and general relativity, with a focus on the gravitational two-body problem. Then in Chapter 5, we develop a general approach based on conservation laws for calculating the correction to the motion of a sufficiently small object due to gravitational perturbations in general relativity. When the perturbations are attributed to the small object itself, this effect is known as the gravitational self-force. It is what drives the orbital evolution of extreme-mass-ratio inspirals: compact binary systems where one mass is much smaller than - thus effectively orbiting and eventually spiralling into - the other, expected to be among the main sources for the future space-based gravitational wave detector LISA. In Chapter 6, we present some work on the numerical computation of the scalar self-force - a helpful testbed for the gravitational case - for circular orbits in the frequency domain, using a method for tackling distributional sources in the field equations called the Particle-without-Particle method. We include also, in Appendix B, some work on the generalization of this method to general partial differential equations with distributional sources, including also applications to other areas of applied mathematics. We summarize our findings in this thesis and offer some closing reflections in Chapter 7.