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Es conocido que muchas propiedades de las nanopartículas, como la luminiscencia, la fotoestabilidad, la eficiencia de la radiación óptica y las propiedades eléctricas, dependen del tamaño. Por lo tanto, la capacidad de crear nanopartículas de un tamaño específico es crucial. En esta tesis, desarrollamos modelos matemáticos para el proceso de crecimiento de nanopartículas con el objetivo de obtener pautas para estrategias de crecimiento eficientes. Una vez comprendido el proceso de crecimiento, analizamos una aplicación práctica de las nanopartículas, conocida como la liberación controlada de fármacos. En la primera parte, el modelo matemático analizado es un problema no estándar de Stefan donde la frontera libre es la superficie de las partículas. En la segunda parte, tratamos un modelo para el movimiento de un nanofluido no newtoniano sujeto a un campo magnético externo y una ecuación de advección-difusión para la concentración de las nanopartículas en el fluido. En ambos casos empleamos varias herramientas matemáticas, como variables de similitud, análisis asintótica y métodos numéricos. En el Capítulo 2 analizamos un problema de Stefan con valores constantes en la frontera mediante métodos analíticos y numéricos para identificar los aspectos matemáticos clave de este tipo de problema. En el Capítulo 3 se presenta y analiza el modelo estándar para el crecimiento de una sola nanopartícula en una solución líquida utilizando las técnicas desarrolladas en el capítulo anterior. Se presta especial atención a la validez de las hipótesis que se hacen regularmente en la literatura. Específicamente, el análisis de la capa límite de difusión muestra como el modelo estándar no se cumple para tiempos pequeños, mientras que la hipótesis de estado pseudoestable es válida. Además, se obtiene una nueva solución analítica para la evolución del radio de la partícula que solo depende de dos parámetros independientes. Esta solución demuestra que el modelo no puede distinguir entre la difusión y el crecimiento impulsado por la reacción. En el Capítulo 4, el modelo del Capítulo 3 se extiende para un sistema de N partículas, donde N es arbitrariamente grande. A través de la adimensionalización del sistema e identificación de los términos dominantes, el problema se reduce y se resuelve mediante técnicas analíticas y numéricas. La ecuación de Gibbs-Thompson para la solubilidad de las partículas muestra la importancia de este efecto para controlar la maduración de Ostwald, que es impulsada por el delicado equilibrio entre la concentración de la solución lejos de la superficie y la solubilidad de las partículas. La comparación con los datos experimentales y con la solución analítica encontrada en el capítulo anterior muestra excelente resultado, dando una herramienta importante para controlar la distribución del tamaño de las partículas y optimizar las estrategias para el crecimiento. La segunda parte de la tesis trata sobre un uso práctico de las nanopartículas: la liberación de fármacos controlada. En el Capítulo 5 se presenta un modelo matemático para el transporte de nanopartículas portadoras de fármacos en el vaso sanguíneo bajo la influencia de un campo magnético externo. Las simplificaciones geométricas realizadas permiten reducir las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo sanguíneo y encontrar soluciones analíticas válidas dentro de los límites establecidos por dichas simplificaciones. La comparación entre los modelos newtonianos y no newtonianos muestra la importancia de tener en cuenta la reología pseudoplástica de la sangre a la hora de modelar la administración de fármacos. En este escenario, la viscosidad de la sangre, que cambia en función de la velocidad de corte, es crucial en el cálculo de la velocidad de las partículas magnéticas en el vaso sanguíneo y es necesario utilizar modelos no newtonianos. Finalmente, a partir del modelo formulado se establecen estrategias para maximizar la liberación de medicamentos en un sitio específico.
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