Estudio y caracterización de soluciones para juegos cooperativos y bicooperativos

Abstract

The first part of this thesis focuses on cooperative games and specifically on the study of semivalues and probabilistic values. Each semivalue, as a solution concept defined on cooperative games with a finite set of players, is univocally determined by weighting coefficients that apply to players' marginal contributions. Taking into account that a semivalue induces semivalues in lower cardinalities, we will study the recovery of its weighting coefficients from the last weighting coefficients of its induced semivalues. Moreover, we will provide the conditions of a sequence of numbers so that they are the family of the last coefficients of any induced semivalues. As a consequence of this fact, we will give two characterizations of each semivalue defined on cooperative games with a finite set of players: one, among all semivalues; another, among all solution concepts on cooperative games. We will see that multinomial probabilistic values constitute a consistent alternative to classical values such as those of Shapley and Banzhaf. These values were introduced in Reliability Systems called multibinary probabilistic values. Here we will study them for cooperative games from different points of view and, especially, as a powerful generalization of binomial semivalues. We will give necessary and / or sufficient conditions for the coefficients of the probabilistic values in general and for the multinomial values in particular, so that certain standard properties in the context of Game Theory are satisfied. Finally, we will define the p-potential function for multinomial probabilistic values with a positive tendency profile.

The second part of the work focuses on bicooperative games. Here we introduce the bisemivalues for these games, giving a characterization of them by means of weighting coefficients, in a similar way as it was given for semivalues in the context of cooperative games. Following the same line of study on the cooperative case, we introduce a subfamily of these values, called (p,q) - bisemivalues and, as a particular case of it, the binomial bisemivalues, which extends the concept of binomial values to bicooperative games. We will also present several properties for values in bicooperatives games with respect to null and nonnull players, balanced contributions, dominance, monotony and sensitivity and block formation, that parallels a series of standard properties considered for values on cooperative games in the literature on value theory. We will also study the behavior of the bisemivalues with respect to them, the characterization of some subfamily of bisemivalues arises in a natural way as a convenient condition to guarantee the validity of some of them. We will provide axiomatic characterizations of the Banzhaf and the Shapley bisemivalues.We will give computational procedures based on the multilinear extension of the game to calculate bisemivalues in general and the (p,q) - bisemivalues in particular. Finally, we also provide a computational procedure to calculate the allocations given by the Shapley bisemivalue in terms of the generalized multilinear extension of the game..

La primera parte de la tesis se centra en los juegos cooperativos, concretamente en el estudio de semivalores y valores probabilísticos. Cada semivalor, como concepto de solución definido en juegos cooperativos con un conjunto finito de jugadores, se determina unívocamente mediante coeficientes de ponderación que se aplican a las contribuciones marginales de los jugadores. Teniendo en cuenta que un semivalor induce semivalores en cardinalidades inferiores, estudiaremos la recuperación de sus coeficientes de ponderación a partir de los últimos coeficientes de ponderación de sus semivalores inducidos. Además, proporcionaremos las condiciones que debe cumplir una secuencia de números cualesquiera para que se corresponda con la familia de los últimos coeficientes de un semivalor inducido. Como consecuencia de este hecho, daremos dos caracterizaciones de cada semivalor definido en los juegos cooperativos con un conjunto finito de jugadores: una, entre todos los semivalores; otra, entre todos los conceptos de solución en juegos cooperativos. Veremos que los valores probabilísticos multinomiales constituyen una alternativa consistente a los valores clásicos como son los de Shapley y de Banzhaf. Estos valores fueron introducidos en Fiabilidad de Sistemas con el nombre de valores probabilísticos multibinarios. Aquí los estudiaremos para juegos cooperativos desde diferentes puntos de vista y, especialmente, como una poderosa generalización de los semivalors binomiales. Daremos condiciones necesarias y / o suficientes sobre los coeficientes de los valores probabilísticos en general y de los valores multinomiales en particular, para que se satisfagan ciertas propiedades clásicas en el contexto de Teoría de Juegos. Finalmente, definiremos la función p -potencial para valores probabilísticos multinomiales con un perfil de tendencias positivo. La segunda parte del trabajo se centra en los juegos bicooperativos. Aquí introduciremos los bisemivalores para estos juegos, dando una caracterización de ellos mediante coeficientes de ponderación, de una manera similar al caso de los semivalores en el contexto de los juegos cooperativos. Siguiendo la misma línea de estudio del caso cooperativo, introduciremos una subfamilia de estos valores, llamada (p,q) - bisemivalores y, como caso particular de ella, los bisemivalores binomiales, que amplía el concepto de valores binomiales a juegos bicooperativos. También presentaremos varias propiedades para valores en juegos bicooperativos con respecto a jugadores nulos y no nulos, contribuciones equilibradas, dominancia, monotonía y sensibilidad y la formación de bloques, que son paralelas a las propiedades clásicas existentes en la literatura sobre teoría de valores, para valores en juegos cooperativos. También estudiaremos el comportamiento de los bisemivalores con respecto a ellas, surgiendo de forma natural la caracterización de alguna subfamilia de bisemivalores, como una condición conveniente para garantizar la validez de algunas de ellas. Caracterizaremos axiomáticamente los bisemivalores de Banzhaf y de Shapley. Daremos procedimientos de cálculo basados en la extensión multilineal del juego para calcular las asignaciones dadas por los bisemivalores en general y los (p,q) - bisemivalores en particular. Finalmente, proporcionaremos también un método de cálculo de las asignaciones correspondientes al bisemivalor de Shapley, en términos de la extensión multilineal generalizada del juego.