Statistical modelling of avalanche observables: criticality and universality

Abstract

Complex systems can be understood as an entity composed by a large number of interactive elements whose emergent global behaviour cannot be derived from the local laws characterizing their constituents. The observables characterizing these systems can be observed at different scales and they often exhibit interesting properties such as lack of characteristic scales and self-similarity. In this context, power-law type functions take an important role in the description of these observables. The presence of power-law functions resembles to the situation of thermodynamic quantities close to a critical point in equilibrium critical phenomena.

Different complex systems can be grouped into the same universality class when the power-law functions characterizing their observables have the same exponents. The response of some complex systems proceeds by the so called avalanche process: a collective response of the system characterized by following an intermittent dynamics, with sudden bursts of activity separated by periods of silence. This kind of out-of-equilibrium systems can be found in different disciplines such as seismology, astrophysics, ecology, finance or epidemiology, just to mention a few of them. Avalanches are characterized by a set of observables such as the size, the duration or the energy. When avalanche observables exhibit lack of characteristic scales, their probability distributions can be statistically modelled by power-law-type distributions. Avalanche criticality occurs when avalanche observables can be characterized by this kind of distributions. In this sense, the concepts of criticality and universality, which are well defined in equilibrium phenomena, can be also extended for the probability distributions describing avalanche observables in out-of-equilibrium systems.

The main goal of this PhD thesis relies on providing robust statistical methods in order to characterize avalanche criticality and universality in empirical datasets. Due to limitations in data acquisition, empirical datasets often only cover a narrow range of observation, making it difficult to establish power-law behaviour unambiguously.

With the aim of discussing the concepts of avalanche criticality and universality, two different systems are going to be considered: earthquakes and acoustic emission events generated during compression experiments of porous materials in the laboratory (labquakes). The techniques developed in this PhD thesis are mainly focused on the distribution of earthquake and labquake sizes, which is known as the Gutenberg-Richter law. However, the methods are much more general and can be applied to any other avalanche observable.

The statistical techniques provided in this work can also be helpful for earthquake forecasting. Coulomb-stress theory has been used for years in seismology to understand how earthquakes trigger each other. Earthquake models that relate earthquake rates and Coulomb stress after a main event, such as the rate-and-state model, assume that the magnitude distribution of earthquakes is not affected by the change in the Coulomb stress. Several statistical analyses are performed to test whether the distribution of magnitudes is sensitive to the sign of the Coulomb-stress increase.

The use of advanced statistical techniques for the analysis of complex systems has been found to be necessary and very helpful in order to provide rigour to the empirical results, particularly, to those problems regarding hazard analysis.

Els sistemes complexos es poden entendre com entitats compostes per un gran nombre d’elements en interacció on la seva resposta global i emergent no es pot derivar de les lleis particulars que caracteritzen cadascun dels seus constituents. Els observables que caracteritzen aquests sistemes es poden observar a diferents escales i, sovint, mostren propietats interessants tals com la manca d’escales característiques i autosimilitud. En aquest context, les funcions amb lleis de potència prenen un paper important en la descripció d’aquests observables.

La presència de lleis de potència s’assimila a la situació dels fenòmens crítics en equilibri, on algunes quantitats termodinàmiques mostren un comportament funcional similar prop d’un punt crític. Diferents sistemes complexos es poden agrupar en la mateixa classe d’universalitat quan les funcions de lleis de potència que caracteritzen els seus observables tenen els mateixos exponents.

Quan són conduïts externament, la resposta d’alguns sistemes complexos segueix el que s’anomonena un procès d’allaus: una resposta col·lectiva del sistema caracteritzada per seguir una dinàmica intermitent, amb sobtats increments d’activitat separats per períodes de silenci. Aquesta mena de sistemes fora de l’equilibri es poden trobar en diferents disciplines tals com la sismologia, astrofísica, ecologia, epidemologia o finances, per mencionar alguns. Les allaus estan caracteritzades per un conjunt d’observables tals com la mida, l’energia o la durada. Quan aquests observables mostren una manca d’escales característiques, les seves distribucions de probabilitat es poden modelitzar estadísticament per distribucions de lleis de potència. S’anomenen allaus crítiques aquelles en que els seus observables es poden caracteritzar per aquestes distribucions. En aquest sentit, els conceptes de criticalitat i universalitat, els quals estan ben definits per fenòmens en equilibri, es poden extendre per les distribucions de probabilitat que descriuen els observables de les allaus en sistemes fora de l’equilibri.

L’objectiu principal d’aquesta tesi doctoral és proporcionar mètodes estadístics robusts per tal de caracteritzar la criticalitat i la universalitat en allaus corresponents a dades empíriques. Degut a les limitacions en l’adquisició de dades, les dades empíriques sovint cobreixen un rang petit d’observació, dificultant que es pugui establir un determinat comportament en forma de llei de potència de manera inequívoca.

Amb l’objectiu de discutir els conceptes de criticalitat i universalitat en allaus, es consideraran dos sistemes diferents: els terratrèmols i els esdeveniments d’emissió acústica que es generen durant experiments de compressió de materials porosos al laboratori (labquakes). Les tècniques desenvolupades en aquesta tesi doctoral estan enfocades principalment a la distribució de la mida dels terratrèmols i labquakes, altrament coneguda com a llei de Gutenberg-Richter. No obstant, aquests mètodes són molt més generals i es poden aplicar a qualsevol observable de les allaus.

Les tècniques estadístistiques proporcionades en aquest treball poden també ajudar al pronòstic de terratrèmols. Durant anys, la teoria d’esforços de Coulomb s’ha utilitzat en sismologia per tal d’entendre com els terratrèmols desencadenen l’ocurrència d’altres de nous. Els models de terratrèmols que relacionen la taxa d’ocurrència de rèpliques i l’esforç de Coulomb després d’un gran esdeveniment, assumeixen que la distribució de la mida dels terratrèmols no està afectada pel canvi en l’esforç de Coulomb. Diverses anàlisi estadístiques s’aplicaran per tal de comprovar si la distribució de magnituds és sensible al signe de l’esforç de Coulomb.

S’ha provat que l’ús de tècniques estadístiques avançades en l’anàlisi de sistemes complexos és útil i necessari per tal d’aportar rigor als resultats empírics i, en particular, a problemes d’anàlisi de riscos.