Contribución a la modelación y al control descentralizado de sistemas de gran escala mediante descomposición con solapamiento

Abstract

Una gran variedad de sistemas reales están compuestos por subsistemas compartidos. Por razones estructurales y/o computacionales es a menudo conveniente construir controladores descentralizados. Encontramos un sinfín de problemas de control en áreas tan diversas como problemas de tráfico, estructuras flexibles, sistemas de potencia, etc. en donde se hace imprescindible aplicar este tipo de técnicas. Todo ello ha motivado la creación de un marco matemático conocido como Principio de Inclusión, en donde se dan las condiciones bajo las cuales se pueden desarrollar y aplicar tales procedimientos.<br/><br/>El Principio de Inclusión fue introducido a principios de los años ochenta dentro del contexto del análisis y del control de los sistemas de gran escala. Esencialmente, dicho principio establece las condiciones para que dos sistemas dinámicos de dimensiones distintas puedan tener comportamientos relacionados. Esto significa que es posible construir un sistema de mayor dimensión que el sistema dado a través de una expansión, de tal forma que el sistema expandido contenga toda la información a cerca del sistema dado. También es posible extraer la información del sistema de mayor dimensión a través de un proceso de contracción.<br/><br/>El Principio de Inclusión se basa en la elección de unas apropiadas transformaciones lineales entre los espacios de estado, salida y control. Dichas transformaciones están influenciadas por una matrices conocidas como matrices complementarias. El papel que juegan las matrices complementarias ha sido extensamente probado. Sin embargo, a lo largo de la historia únicamente se han utilizado dos tipos concretos de expansiones, llamadas restricciones y agregaciones, aunque el estudio de otras posibilidades ha sido considerado como un problema de gran interés.<br/><br/>El diseño de controladores descentralizados centra nuestra atención. Básicamente, la idea consiste en expandir el sistema inicial con subsistemas solapados ("overlapping") a un sistema de mayores dimensiones en donde los subsistemas aparezcan ahora disjuntos y lo más débilmente acoplados posible entre sí. Entonces, se diseñan controladores descentralizados para cada subsistema aplicando técnicas estándar de diseño. <br/><br/>La principal contribución de la Tesis consiste en ofrecer una nueva y mucho más general caracterización de las matrices complementarias así como un procedimiento para su selección. Además, los resultados se han extendido a otros temas de interés, tales como la estabilidad, la controlabilidad y la observabilidad de sistemas, problemas sobre control óptimo, suboptimalidad, etc. Finalmente, se presenta un ejemplo ilustrativo en donde se pueden apreciar las ventajas que conlleva el uso de las nuevas matrices complementarias.

A large variety of real world systems consists of subsystems sharing common parts. For either structural or computational reasons it is often convenient to construct decentralized controllers by using overlapping information sets. There exist control problems in different areas such as traffic problems, flexible structures or power systems, where this is a particularly effective way to proceed. This has motivated to formalize these ideas and conditions in a general mathematical framework, which has been named Inclusion Principle. <br/><br/>The Inclusion Principle was proposed in the early eighties in the context of analysis and control of complex and large-scale systems. Essentially, this principle establishes a mathematical framework in which two dynamic systems with different dimensions have a related behavior. This means that the big system can be built from the small one through an expansion process, in such a way that the big system contains the essential information about the behavior of the small system and the other way this information can be extracted from the big system by a contraction process. <br/><br/>The Inclusion Principle relies on the choice of appropriate linear transformations between the inputs, states and outputs of both systems, which have the freedom of the selection of the so-called complementary matrices. The important role of the complementary matrices within this context has been proved. However, only two simple standard choices have been commonly used in practice, restrictions and aggregations, while the exploitation of the degree of freedom offered by the selection of the complementary matrices has been considered as one of interesting research issues. <br/><br/>Particular attention has been given in the design of overlapping decentralized controllers. Basically, the idea is to expand the system with overlapped components into a larger dimensional system that appears decomposed into a number of disjoint subsystems. Then, decentralized controllers are designed for the expanded system and contracted to be implemented in the original system by using well-known control design methods. <br/><br/>The main contribution of this thesis is to present a new characterization of the complementary matrices, which gives a more explicit way for their selection. A general structure for the complementary matrices together with a procedure to select them is presented. Moreover, these results have been extended to other issues such as stability, contractibility and observability of systems, linear quadratic optimal control problem, suboptimality concept, etc. Finally, an illustrative example to demonstrate the advantages of the new characterization of the complementary matrices is supplied.