Combinatorics of plethysm via Segal groupoids and operads

Abstract

Aquesta tesi s’emmarca en les àrees de la combinatòria, la teoria de categories i la topologia algebràica. Concretament, s’estudia la combinatòria del pletisme desde la perspectiva de les biàlgebres d’incidència i la combinatòria objectiva. L’àlgebra objectiva es realitza al nivell de grupoides de Segal, mitjançant l’ús de tècniques homotòpiques i mètodes simplicials. La primera contribució consisteix en exhibir la substitució pletística com a un producte de convolució dual a la cardinalitat homotòpica de la biàlgebra de incidència d’un grupoide simplicial, TS, de la mateixa manera que la susbtitució pletística s’obté a partir del nervi gros NS de la categoria S de conjunts finits i aplicacions exhaustives. El gupoide simplicial TS s’obté de la categoría S a partir de la construcción T, una nova construcció categòrica reminiscent de les construccions Q de Quillen i W de Waldhausen. El grupoide simplicial NS es equivalent a la construcció bar de la òperada simètrica Sym. S’observa que també TS es equivalent a la construcció bar d’una certa òperada, i que la manera que aquesta òperada s’obté a partir de Sym es pot generalitzar a qualsevol òperada (suficientement bona). Això condueix a la segona contribució: una construcció que estableix un pont entre la substitució ordinària y les substitucions pletístiques. Aquesta construcció permet tractar simultàniament diverses nocions de pletisme, així com produir-ne de noves. Per a totes aquestes nocions es presenta un model combinatori en forma de grupoide de Segal monoidal.

La presente tesis se enmarca en las áreas de la combinatoria, la teoría de categorías y la topología algebraica. Concretamente, se estudia la combinatoria del pletismo desde la perspectiva de las biálgebras de incidencia y la combinatoria objetiva. El álgebra objetiva se realiza al nivel de grupoides de Segal, mediante el uso de técnicas homotópicas y métodos simpliciales.

La primera contribución consiste en exhibir la sustitución pletística como un producto de convolución dual a la cardinalidad homotópica de la biálgebra de incidéncia de un grupoide simplicial, TS, de la misma manera en que la sustitución pletística se obtiene a partir del nervio grueso NS de la categoría S de conjuntos finitos y aplicaciones exhaustivas. El gupoide simplicial TS se obtiene de la categoría S a partir de la construcción T, una nueva construcción categórica reminiscente de las construcciones Q de Quillen i W de Waldhausen.

El grupoide simplicial NS es equivalente a la construcción bar de la óperada simétrica Sym. Se observa que también TS es equivalente a la construcción bar de cierta óperada, i que la manera en que esta óperada se obtiene a partir de Sym se puede generalizar a cualquier óperada (suficientemente buena). Esto conduce a la segunda contribución: una construcción que establece un puente entre la sustitución ordinaria y las sustituciones pletísticas. Dicha construcción permite tratar simultáneamente varias nociones de pletismo, así como producir nuevas. Para todas estas nociones se presenta un modelo combinatorio en forma de grupoide de Segal monoidal.

The present thesis lies on the intersection between combinatorics, category theory and algebraic topology. We study the combinatorics of plethysm from the perspective of incidence bialgebras and objective combinatorics. The objective algebra is carried out at the level of Segal groupoids, by using homotopy slices and homotopy pullbacks of groupoids and simplicial methods. The first main contribution is to exhibit plethystic substitution as a convolution tensor product obtained from an explicit simplicial groupoid, TS, by the standard general constructions of incidence coalgebras and homotopy cardinality, in analogy with how ordinary substitution is obtained from the fat nerve NS of the category of finite sets and surjections S. The simplicial groupoid TS arises from S as its T-construction, a new categorical construction which is reminiscent of Quillen’s Q and Waldhausen’s S-constructions.

The simplicial groupoid NS is equivalent to the two-sided bar construction of the operad Sym. We observe that TS too is equivalent to the two-sided bar construction of a certain operad, and that the way to obtain this operad from Sym can be generalized to any (nice enough) operad.

This leads to the second main contribution: a functorial construction on generalized operads which formalizes the passage from ordinary substitutions to plethystic substitutions. This construction allows for treating simultaneously a variety of notions of plethysm, and in fact leads to new notions of plethysm. For all these notions of plethysm, a combinatorial model is exhibited in the form of a monoidal Segal groupoid.