An effective method to study the Hopf-Galois module structure of certain extensions of fields

Abstract

We develop a method to compute a basis of the associated order in a Hopf Galois structure H of the ring of integers O_L of an extension of number or p-adic fields L/K. We state and prove a necessary and sufficient condition for a given element in O_L to be a free generator of O_L as module over its associated order in H. Whenever it exists, one can use such a free generator and a basis of this associated order to build a basis which can be seen as an analog of the normal integral basis in the Galois case. We use this method to determine the associated order and the existence of those normal integral bases generators for different classes of extensions of fields, such as Galois extensions of degrees 2, 3 and 4, and separable degree p extensions of Q_p with normal closure having Galois group isomorphic to the dihedral group D_p of 2p elements. We shall use the theory of induced Hopf Galois structures to study the same problem for the normal closure itself, i.e. a dihedral degree 2p extension of Q_p. We give complete answers for the cases p=3 and p=5.

Desarrollamos un método para calcular una base del orden asociado en una estructura Hopf Galois H del anillo de enteros O_L de una extensión de cuerpos numéricos o p-ádicos L/K. Enunciamos y probamos una condición necesaria y suficiente para que un elemento dado en O_L sea un generador libre de O_L como módulo sobre su orden asociado en H. Cuando existe, una base del orden asociado y un tal generador libre pueden ser utilizados para construir una base que se puede ver como un análogo de la base normal entera en el caso de extensiones de Galois. Usamos este método para determinar el orden asociado y la existencia de tales bases normales enteras para diferentes clases de extensiones de cuerpos, como extensiones de Galois de grados 2, 3 y 4, y extensiones separables de Q_p cuya clausura normal tiene grupo de Galois isomorfo al grupo diedral de 2p elementos. Usamos la teoría de estructuras Hopf Galois inducidas para estudiar el mismo problema para la propia clausura normal, esto es, una extensión diédrica de grado 2p de Q_p. Presentamos respuestas completas para los casos p=3 y p=5.