Transport equations via smooth kernels

Abstract

En aquesta tesi estudiem l’equació del transport no lineal i no local. Aquesta equació en derivades parcials descriu l’evolució d’un escalar que es transporta seguint un camp de velocitats. El camp i l’escalar estan relacionats mitjançant la convolució d’aquest últim amb un nucli escollit. La principal aportació és que, en general, permetem que aquesta elecció faci que el camp de velocitats resultant tingui divergència no nul·la (a diferència del cas de l’equació d’Euler) i fins i tot no fitada (a diferència del cas de l’equació de l’agregació).

La tesi es divideix en tres blocs.

Al primer bloc, que conté els capítols 1 i 2, veiem que el problema de Cauchy de l’equació per una dada inicial Hölder contínua i amb suport compacte està ben posat. Així, al capítol 1 considerem una família de nuclis a l’espai euclidià n-dimensional on cada component és una combinació lineal de derivades de la solució fonamental del laplacià. Al capítol 2 treballem al pla complex, la qual cosa ens permet considerar una família de nuclis encara més ampla.

El segon bloc és la part central de la tesi. Estudiem el problema del pegat de densitat, és a dir, quan l’escalar considerat és la funció característica d’un domini. Es recupera el resultat de conservació de la regularitat de la frontera d’un domini estudiat per Chemin i Constantin-Bertozzi l’any 1993 per l’equació d’Euler i també el mateix resultat de Bertozzi-Garnett-Laurent-Verdera l’any 2016 per l’equació de l’agregació. Aconseguim aquí una generalització d’aquests dos resultats per les mateixes famílies de nuclis del primer bloc: al capítol 3 ho fem a dimensió arbitrària i al capítol 4 al pla complex.

El tercer bloc és el més petit i es correspon amb l’últim capítol de la tesi. S’estudia el comportament límit (per temps infinit) d’un pegat de densitat unidimensional, en aquest cas per l’equació de l’agregació, que es transforma en una equació del transport mitjançant un canvi de variable adient.

En esta tesis estudiamos la ecuación del transporte no lineal y no local. Esta ecuación en derivadas parciales describe la evolución de un escalar que se transporta siguiendo un campo de velocidades. El campo y el escalar están relacionados mediante la convolución de este último con un núcleo escogido. La principal aportación es que, en general, permitimos que esta elección haga que el campo de velocidades resultante tenga divergencia no nula (a diferencia del caso de la ecuación de Euler) e incluso no acotada (a diferencia del caso de la ecuación de la agregación).

La tesis se divide en tres bloques.

En el primer bloque, que contiene los capítulos 1 y 2, vemos que el problema de Cauchy de la ecuación para un dato inicial Hölder continuo y con soporte compacto está bien puesto. De esta manera, en el capítulo 1 consideramos una familia de núcleos en el espacio euclídeo n-dimensional donde cada componente es una combinación lineal de derivadas de la solución fundamental del laplaciano. En el capítulo 2 trabajamos en el plano complejo, lo cual nos permite considerar una familia de núcleos aún más general.

El segundo bloque es la parte central de la tesis. Estudiamos el problema del pegado de densidad, es decir, cuando el escalar considerado es la función característica de un dominio. Se recupera el resultado de conservación de la regularidad de la frontera de un dominio estudiado por Chemin y Constantin-Bertozzi en el año 1993 para la ecuación de Euler y también el mismo resultado de Bertozzi-Garnett-Laurent-Verdera del año 2016 para la ecuación de la agregación. Conseguimos aquí una generalización de estos dos resultados para las mismas familias de núcleos del primer bloque: en el capítulo 3 lo hacemos en dimensión arbitraria y en el capítulo 4 en el plano complejo.

El tercer bloque es el más breve y se corresponde con el último capítulo de la tesis. Se estudia el comportamiento límite (para tiempo infinito) de un pegado de densidad unidimensional, en este caso para la ecuación de la agregación, que se transforma en una ecuación del transporte mediando un cambio de variables adecuado.

In this thesis we study the non-linear non-local transport equation. This partial differential equation describes the evolution of a scalar which is transported by a velocity field. The field and the scalar are related through the convolution of the latter with a chosen kernel. The main contribution is that, in general, we allow this choice to yield a velocity field having non-zero divergence (unlike the case of the Euler equation) and even non-bounded divergence (unlike the case of the aggregation equation).

The thesis is divided into three blocks.

In the first block, which contains chapters 1 and 2, we study the well-posedness of the equation for a Hölder continuous and compactly supporter initial data. Thus, in chapter 1 we consider a family of kernels in the n-dimensional Euclidean space where each component is a linear combination of derivatives of the fundamental solution of the laplacian. In chapter 2 we work in the complex plane, which allows us to consider an even more general family of kernels.

The second block is the central part of the thesis. We study the problem of density patches, i.e. when the scalar under consideration is the characteristic function of a domain. We recover the result of conservation of the regularity of the boundary of a domain studied by Chemin and Constantin-Bertozzi in 1993 for the Euler equation and also the same result of Bertozzi-Garnett-Laurent-Verdera in 2016 for the aggregation equation. We achieve here a generalisation of these two results for the same families of kernels of the first block: in chapter 3 we do it in arbitrary dimension and in chapter 4 in the complex plane.

The third block is the shortest and corresponds to the last chapter of the thesis. We study the limit behaviour (for infinite time) of a one-dimensional density patch, in this case for the aggregation equation, which is transformed into a transport equation by means of an appropriate change of variables.