Sobre la parte p-fundamental del grupo de Brauer

Abstract

Según un conocido teorema de Wedderburn, toda álgebra normal y simple es el producto directo (tensorial) de un álgebra total de matrices y un álgebra de división. A partir de aquí R. Brauer divide las álgebras normales y simples en clases y define en el conjunto de clases una estructura de grupo abeliano.

En el caso que el cuerpo de coeficientes sea de característica p>0, el estudio de la parte p-fundamental del grupo de Brauer de clases de álgebras se reduce al de las p-álgebras cíclicas, que fueron estudiadas por E. Witt en 1936 y al mismo tiempo O. Techmüller obtenía algunas relaciones entre las p-álgebras cíclicas con respecto a la clasificación de Brauer.

Recientemante E. Witt ha dado un isomorfismo entre la parte p-fundamental del grupo de Brauer de clases de álgebras y un módulo de formas de Pfaff en el que se calcula con gran fluidez y permite dar un sistema de generadores de la parte p-fundamental del grupo de Brauer a partir de una p-base del cuerpo de coeficientes.

Las relaciones entre las p-álgebras cíclicas obtenidas por O. Techmüller dan los generadores nulos y algunas relaciones de forma muy particular. El objeto de este trabajo es obtener todas las relaciones entre los generadores anteriormente citados. Este problema se resuelve primeramente trabajando en el módulo de formas de Pfaff, y después, siguiendo los mismos métodos de Techmüller, independientemente del módulo de formas de Pfaff.

Para los teoremas generales sobre álgebras usados en este trabajo puede verse el libro de A. Albert. Para facilitar la lectura se empieza con un resumen del cálculo vectorial de Witt y su aplicación a la obtención de las p-álgebras cíclicas sobre un cuerpo k, y finalmente el isomorfismo entre la parte p-fundamental del grupo de Brauer de clases de álgebras y un módulo de formas de Pfaff sobre el anillo de vectores de Witt.

El tema del presente trabajo me fue propuesto durante mi estancia en Hamburgo (1956/53) por el Profesor E. Witt al que expreso ni agradecimiento tanto por la ayuda que me ha prestado durante la ejecución del mismo como por todas las enseñanzas de él recibidas. Expreso también mi agradecimiento al Dr. J. Augé por el apadrinamiento de esta tesis y al C.S.I.C. y a D.A.A.D, que me proporcionaron la beca que me permitió realizar estos estudios.