Quantum detection in time. Change Point and Sequential Analysis

Abstract

Aquesta tesi tracta sobre detectar propietats de conjunts d’estats quàntics ordenats en el temps. No obstant, no tracta sobre la mesura del temps, sinó sobre la detecció de un senyal fet d’estats quàntics. S’aborden aquests problemes estudiant com extreure informació d’un senyal que pressuposem que té ordre, anomenem temps a aquest ordre. Sent més precisos, aquesta tesi tracta sobre dos temes principals en estadística quàntica: el punt de canvi i l’anàlisi seqüencial. El problema de punt de canvi tracta sobre un senyal que canvia en un cert temps que és desconegut a l’observador. La tasca llavors és detectar un canvi abrupte de la manera més precisa i ràpida possible. Aquest és un camp destudi en estadística clàssica el que només recientement ha estat analitzat en un escenari quàntic. Aquí estenem l’estudi d’aquest camp en sistemes quàntics. Primer analitzem la versió exacta del problema, que correspon a discriminació no ambigua però restringint-nos a estratègies de mesura de partícules una a una en oposició a estratègies quàntiques més generals. Trobem que per a un rang de valors del solapament entre l’estat inicial i el mutat, l’estratègia en línia té la mateixa probabilitat èxit que lestratègia global. Després estudiem protocols nous que són útils per a aquest problema general, fan ús explícit de l’ordre dels estats en el temps. El protocol que proposem permet interpolar entre els protocols unambigu i d’error mínim. La segona part d’aquesta tesi tracta sobre contrast d’hipòtesis. Estudiem protocols seqüencials de contrast d’hipòtesis per a sistemes quàntics. Això representa un angle nou al problema de contrast d’hipòtesis quàntic ja que fixem en el nostre enfoc les taxes d’error que volem implementar i prenem el nombre de còpies com a variable aleatòria, cosa que contrasta amb l’esquema usual on es té un nombre fix de còpies i es minimitza l’error. Estudiem cotes inferiors en el rendiment que es pot assolir quan es vol distingir dos estats quàntics i qualsevol estratègia quàntica de mesurament permesa. El rendiment en aquest cas està donat pel mínim nombre promig de còpies necessàries per obtenir una decisió per una hipòtesi amb els límits d’error que es demanen. Ens restringim al cas més senzill de dues hipòtesis quàntiques i estats barreja de dimensió finita. També estudiem el cas de dos estats purs i obtenim resultats pel nombre mitjà òptim de còpies necessàries. Els nostres resultats suggereixen de forma natural l’estudi de protocols de discriminació amb estats purs en línia més enllà del cas binari. Estudiem el problema de discriminació unambigua per a tres estats simètrics que és un case molt natural i simple però on les estratègies en línia, en general, tenen un rendiment diferent que el global quan més duna còpia és disponible. No obstant determinarem els casos pel que el rendiment és el mateix. Acabem aquesta tesi a les conclusions amb alguns pensaments sobre els tòpics presentats i en general sobre el camp d’informació quàntica i la relació amb els fonaments de la física quàntica. Incloem també noves línies de recerca prometedores que deriven dels resultats d’aquesta tesi.

Esta tesis trata sobre detectar propiedades de conjuntos de estados cuánticos ordenados en el tiempo. Sin embargo, no trata sobre medir el tiempo, sino sobre la detección de una señal hecha de estados cuánticos. Se abordan estos problemas estudiando como extraer información de una señal que presuponemos que tiene orden, llamamos tiempo a dicho orden. Siendo más precisos, esta tesis trata sobre dos temas principales en estadística cuántica: punto de cambio y análisis secuencial. El problema de punto de cambio trata sobre una señal que cambia en cierto tiempo que es desconocido al observador. La tarea entonces es detectar un cambio abrupto de la manera más certera y rápida posible. Este es un campo de estudio en estadística clásica y recientemente ha sido primeramente analizado en el caso cuántico. Aquí extendemos el estudio de este campo en sistemas cuánticos. Primero analizamos la versión exacta del problema, que corresponde a discriminación no ambigua pero restringiéndonos a estrategias de medida de partículas una a una en oposición a estrategias cuánticas más generales, encontramos que para un rango de valores del traslape entre el estado inicial y el mutado, la estrategia en línea tiene la misma probabilidad de éxito que la estrategia global. Después estudiamos protocolos novedosos que son útiles para este problema general, hacen uso explícito del orden de los estados en el tiempo. El protocolo que proponemos permite interpolar entre los protocolos unambiguo y de error mínimo. La segunda parte de esta tesis trata sobre contraste de hipótesis. Estudiamos protocolos secuenciales de contraste de hipótesis para sistemas cuánticos. Ésto representa un nuevo ángulo al problema de contraste de hipótesis cuántico ya que en nuestro enfoque fijamos las tasas de error que queremos implementar y tomamos el número de copias como una variable aleatoria, lo que contrasta con el esquema usual donde se tiene un número fijo de copias y se minimiza el error. Estudiamos cotas inferiores en el rendimiento que puede alcanzarse cuando se quiere distinguir dos estados cuánticos y cualquier estrategia cuántica de medición es permitida. El rendimiento en este caso está dado por el mínimo número promedio de copias que necesarias para obtener una decisión por una hipótesis con los límites de error que se piden. Nos restringimos al caso más sencillo de dos hipótesis cuánticas y estados mezcla de dimensión finita. También estudiamos el caso de dos estados puros y obtenemos resultados para el número promedio óptimo de copias necesarias. Nuestros resultados sugieren de forma natural el estudio de protocolos en línea de discriminación con estados puros más allá del caso binatio. Estudiamos el problema de discriminación unambigua para tres estados simétricos que es un case muy natural y simple pero donde las estrategias en línea, en general, tienen un rendimiento distinto que el global cuando más de una copia es disponible. Sin embargo, determinamos los casos en los que el rendimiento es el mismo. Terminamos esta tesis en las conclusiones con algunos pensamientos sobre los tópicos presentados y en general sobre el campo de información cuántica y sobre su relación con los fundamentos de la física cuántica. Incluímos también nuevas líneas de investigación prometedoras que se derivan de los resultados de esta tesis.

This thesis is about detecting properties of sets of quantum states ordered in time. However, it is not about measuring time but about the detection of a signal made of quantum states. We address these issues studying how to extract information from a signal that we presuppose that has order; we call time such order. Being more specific, this thesis deals with two major themes in quantum statistics: change point and sequential analysis. Change point analyzes with a signal that changes abruptly at a certain time which is unknown to the observer. The task then is to detect the abrupt change as accurate and fast as possible. This is a field of study in classical statistics and was first analyzed in the quantum setting recently. Here we extend the study of this field for quantum systems. We address firstly the exact version of the problem, which corresponds to unambiguous discrimination but restrict to measuring copies as they are available as opposed to more general quantum strategies. We find that for a given range of the values of the overlap between the initial and the mutated state, the strategy that we study can reach the performance of the global one. We then study novel protocols that are useful in this problem in the more general setting, they make explicit use of the ordering of the states in time. The protocol that we propose interpolates between unambiguous and minimum error discrimination. The second part of the thesis turns to hypothesis testing. We study se- quential hypothesis testing protocols for quantum systems. This represents a novel approach to quantum hypothesis testing because in our approach we fix the error rates that we want to reach and take the number of copies as a random variable, which contrasts with the usual scheme of having a fixed number of copies and minimize the error rates. We study lower bounds on the performance that can be achieved when trying to distinguish two quantum states and any quantum measurement strategy is allowed in the limit of small errors. The performance in this case is given by the minimum average number of samples that one needs to achieve a decision for one hypothesis with the error thresholds that are asked for. We restrict to the case of two quantum hypotheses represented by finite dimensional mixed states. We also study the case of two pure states and obtain exact results for the optimal average of samples needed. Our results naturally suggested the study of unambiguous online protocols of discrimination with pure states beyond the binary case. We studied the problem of unambiguous discrimination of three symmetric states, which is a very natural simple case of three hypotheses but where online strategies have a lower performance than global ones when more than one copy is available. Nevertheless, we determined the cases where the performance is the same for both cases. We finish this thesis in the conclusions with thoughts about the topics presented and in general about the field of quantum information and its relation with quantum foundations. We also include promising new lines of research derived from the results of this thesis.